THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN. 
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Grenze liegenden, die angegebenen Eigenschaften; so folgt aus dem vorste 
henden Beweise, dass die auf die angezeigte Weise gebildete Reihe f(u) 
jedenfalls für die bezeichneten Werthe von u convergent sein und der Diffe 
rential-Gleichung = F(u) genügen würde. 
Der bewiesene Satz kann nun, wenn zwischen zwei veränderlichen 
Grössen x und u eine algebraische Differential - Gleichung besteht, dazu ge 
braucht werden, um zu entscheiden, ob sich wirklich x als eine Function 
von u, die den Charakter einer ganzen oder gebrochenen rationalen hat, be 
trachten lasse, und um, wenn das Letztere der Fall ist, zur Bestimmung des 
Zählers und des Nenners zwei Differential-Gleichungen zu ermitteln. Denn 
immer wird sich aus der gegebenen Differential - Gleichung für irgend einen 
A t0n Differential-Coefficienten von \ogx ein Ausdruck von der Form 
herleiten lassen, wo F eine rationale Function von x, u. s. w. bezeichnen 
soll, deren Coefficienten Constanten oder eindeutige analytische Functionen 
von u sind. Wenn nun x in der Gestalt 
fM) 
fM 
wo unter f 2 (u) zwei nach ganzen positiven Potenzen von u in beständig 
convergirende Reihen entwickelbare Functionen zu verstehen sind, darstellbar 
sein soll, so muss, indem dann 
d k logx cClog/iG) _ d x log f 2 (u) 
du x du 1 du x 
ist, F sich auf die Form F t — F 2 in der Art bringen lassen, dass F t , F 2 
Functionen von der in dem aufgestellten Satze beschriebenen Art sind. Ge 
lingt es nun, F in dieser Weise umzuformen, wo denn im Allgemeinen 
_F i? F 2 Functionen von u, x, ••• fjSr se i n werden, und der Nachweis, dass 
sie die in Rede stehende Beschaffenheit haben, mit Hülfe dessen, was hin 
sichtlich des zwischen x und u bestehenden Abhängigkeits-Verhältnisses aus 
der gegebenen Differential - Gleichung folgt, oder sonst bekannt ist, geliefert 
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