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THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN. 
werden muss; so kann man 
^logf x (u) _ F öGogf 2 (u) _ ^ 
du* ~~ " du* ~ 2 
setzen, und dann, indem man für x diejenige Entwicklung nach Potenzen 
von u sucht, welche für hinlänglich kleine Werthe von u gilt, und hierauf 
die entsprechenden Entwicklungen von F 2 ausführt, die Reihen für f t (u\ 
f 2 (u) in der beschriebenen Weise bilden — oder man kann auch, in jF, F 2 
y-ju) x einführend, aus den so sich ergebenden Gleichungen die Coeffi- 
cienten der gesuchten Reihen, deren Form und beständige Convergenz ja be 
reits vor ihrer Entwicklung feststeht, nach irgend einer passenden Methode ab 
leiten; worauf man bei gehöriger Constanten-Bestimmung x = ~~ haben wird. 
Wenn man im Stande ist, von der Grösse x vor ihrer Entwicklung nach 
zuweisen, dass sie eine eindeutige Function von u ist, welche sich für alle 
in der Nähe eines beliebigen besondern Werthes a liegenden Werthe dieses 
Arguments durch eine convergirende Reihe von der Form 
A 0 (u — «)“ + A x (u — ay +l + A 2 (u — a) u+2 + • • •, 
wo fi eine ganze (positive oder negative) Zahl bedeutet, ausdrücken lässt; so 
genügt es, F als die Differenz zweier andern ähnlich gebildeten Ausdrücke 
F x , F 2 darzustellen, von denen sich zeigen lässt, dass der erste nur für solche 
Werthe von x unendlich gross werde, bei denen x = 0, der andere nur für 
diejenigen, bei denen x = oo wird — und man kann überzeugt sein, dass 
die aus den Gleichungen 
& log/» = F aGogf 2 (u) _ 
du* 1 ’ du* 2 
auf die beschriebene Weise für f x (u), f 2 (u) sich ergebenden Reihen 
beständig convergent sein werden. 
Denn bei der angenommenen Beschaffenheit von x hat man für jeden 
Werth von a 
aGog# 
du* 
u = a+k 
— — m -- ^ ~ + j Glieder mit nur ganzen positiven Potenzen von k 
= F x (a + k) — F 2 (ct + Je), 
wo m eine ganze positive Zahl ist, wenn für u = a x = 0 oder = oo wird,