THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN. 
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und das obere Zeichen im ersten, das untere im andern Falle gilt, während 
man m — 0 für jeden andern Werth von «-hat. Ferner gehen F x , JF wenn 
man in denselben u — a + k setzt und nach Potenzen von k entwickelt, Reihen 
mit nur ganzen Potenzen von 7v, wobei jedoch, da F 1 und F 2 für keinen 
Werth von u beide unendlich gross werden, niemals in beiden zugleich nega 
tive Potenzen von k Vorkommen können. Daher folgt aus der vorstehenden 
Gleichung, wenn F t (a) — oo ist (indem man mit (k) eine Reihe von der 
Form h o + k x k + li 2 k* h— andeutet), 
+ h) = + ß), F,(a + Je) = ß) ■ 
und wenn F 2 (a) — oo, 
*> + *) = + F,ß) = ß), 
während man für jeden andern Werth von a 
F ± (ö + &) = (k), F 2 (o, -f- k) = (k) 
hat. Es besitzen also F 1 (»)> F 2 (u) die bei dem entwickelten Satze für die 
Function F(u) vorausgesetzte Beschaffenheit. 
Wenn sich nur nachweisen liesse, dass man x für alle Werthe von u, 
die dem absoluten Betrage nach unterhalb einer gewissen Grenze liegen, als 
eine Function dieser Veränderlichen von der angegebenen Beschaffenheit an 
zusehen habe; so würde man, in der beschriebenen Weise verfahrend, zu einer 
jedenfalls für alle jene Werthe von u geltenden Darstellung von x gelangen. 
Sind für mehrere Functionen x t , x 2 , ... von u eben so viele algebraische 
Differential - Gleichungen gegeben, so kann man bei deren Entwicklung in 
ganz ähnlicher Weise verfahren. Auch ist es möglich, in dem Falle, wo es 
sich um Functionen von mehr als einem Argumente handelt, die Unter 
suchung auf den hier betrachteten zurückzuführen.