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ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR-FUNCTIONEN. 
Es werde zuerst angenommen, dass alle Coefficienten der Reihe, worin 
F{x) entwickelt werden kann, reell seien, und man 
F(x) = F(x + 2it) 
habe. Setzt man x = u + vi, unter w, v reelle Veränderliche verstanden, so 
geht F{pc) in eine Function von u und v über, und man hat 
F{x) = F(u + vi) = cp + i<p, 
wo cp, cp reelle und, so wie ihre Differentialquotienten aller Ordnungen, be 
ständig endliche und continuirliche Functionen von m, v sind. Wird u+ 2tt 
für u gesetzt, so ist 
cp (u + 2tt, v) + (u + 2tc, v) = cp (u, v) + (u, v), 
d. h. 
cp(w+ 2tt, v) = Cp(u,v), ty(u+2x,v) = <p(u,v). 
Vermöge dieser Eigenschaften von cp, cp erhält man nach dem vorhin ange 
führten Satze, wenn man sie blos als Functionen von u betrachtet, und 
setzt, 
und 
1 
4. 
/»2rc 
a r = 
T. 
i cp. cos ru. du, 
a' r = 
/ cp. sin ru. du, 
Jq 
1 
/»2rc 
1 
r2" 
\ = 
V, 
j cp.cos ru.du, 
K = 
/ cp. sin ru. du 
Jo 
J 0 
cp = }a 0 + a, cos WH ba r cosr?n 
+ o' sinw-| b o r ' sinrw -t—, 
cp = -~& 0 +Z^cosw-| h& r cosrwH— 
-b b[ sin u H b b' r sin ru H 
F(u + vi) = tK+V) + (Oi + ft^costt + —b (o r + b r i)cosru + ••• 
+ (o' + b[i) sin u h b (a' + b' r i) sin ru -\— 
Hier sind nun die Coefficienten a r) b r) o', b' r Functionen von v] soll aber der 
zu beweisende Satz richtig sein, so muss sich die vorstehende Reihe auf 
die Form 
yA 0 +^cos^ + m) + + A r cosr(?i + vi) + ... 
+ R, sin(tt + t>») + ••• + R r sinr (u + vi) + • •• 
bringen lassen, in der Art, dass A r1 B r von u und v unabhängig sind. Die 
Vergleichung beider Formen giebt 
a r + b r i = A r (£o3n> + i B r ©in rv 
ci' r +b' r i — B r Qio%rv — iA r ©hm>,