mBtämßSaammm 
30 
ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR - FUNCTIONEN. 
ri r i7i 
4- / Pdu = 0, 
ov f 
•'o 
= 0 
ö r*~ 
etf Qdu 
J o 
Es sind also in der That 
A, = L f'\p+Qi)àu 
d z” 2 ' ó z’ 2 ' 
d» / P ' ÖM = °- S'/ e ' Ö! ‘ = °- 
b, = L r\P'+Q'i)du 
von u unabhängig, und man kann daher bei Bestimmung dieser Grössen v = 0 
setzen, wo man dann 
1 / * 
A r = — / F(u) cosru.du, 
71 *T) 
erhält. Die Reihe 
1 /* 2,t 
B r = — F(u) si 
sin rii . 
}A 0 + A^osx h h A r cosr# -\— 
+ JB X sinaH h R r sinraH—, 
deren Coefficienten so bestimmt sind, dass für alle reellen Werthe von x ihre 
Summe gleich F[x) ist, geht also, wenn x = u + vi gesetzt wird, in die oben 
für F(u + vi) gefundene und für alle reellen Werthe von u und v conver- 
girende über, und sie giebt daher den Werth von F x] für jedes beliebige x. 
Der allgemeinere Fall, wo F[x) = F(x + a) ist, und a einen beliebigen 
reellen oder imaginären Werth hat, auch die Coefficienten der Reihe für Fix) 
beliebige Werthe haben können, wird leicht auf den hier betrachteten zurück 
geführt. Setzt man nämlich x = ~y, so geht F(x) in eine Function von y 
über, und man kann F{x) = cp{y) + [y) setzen, in der Art, dass die Reihen- 
Entwicklungen von cp, <[> nach Potenzen von y nur reelle Coefficienten haben. 
Setzt man x + a für x, so geht y in y+2K über, und man hat 
cp(2/ + 2Tc) + ^(i/ + 27i) = cp (y) + (y), d. h. <t(y + 2Tz) = cp(y), + 2tt) = ^(y), 
also nach dem eben Bewiesenen für jeden Werth von y 
<p(y) = !«o+ a 1 cosy + --- + a r cosry + ... 
+ a' sin y -\ 1- a' r sin ry H 1 
^(y) = i b 0 +b 1 cos */ + ••• + & r cosn/ + -.. 
+ b[ sin y H b' r sin ry + • • •, 
wo