ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR-FUNCTIONEN. 
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b = 
i r 2 * i r 2K 
= — / cp (y) cosry.dy, a' r — — / <?(y)smry .dy, 
*T> ’ «'o 
1 /* 2 " 1 /*2jc 
— f ^(^)cosyy.öy, b' r — — ty(y)ainry.dy 
•'o " *^0 
ist. Dann ist aber 
a r +& r i = i- f FÌ—y^jGosry.dy — ~ f F(x) cos^-x.dx, 
Jf\ «/n 
a' r +b' r i = ~ f F^yjainry.dy = ~ f F{x) am^-x.dx. 
•'o *^0 
Mithin hat man 
. . . . . 2m 
Fix) = ±A n +A. cos — x-\ b A.cos x + 
w 2 0 1 a a 
.2t. T) . 2nr 
+ B, sin — # + 1- B sin x + 
a a 
für jeden reellen und imaginären Werth von x, wenn 
A r = ~ f F(x) cos -^-x.dx , B r = ~ f F(x) sin-^-x.dx 
^0 *^0 
gesetzt wird. Wenn man aber zweitens 
F(x) = —F(x + a) 
hat, so ist F(x+2a) = F(x), und es kann daher F{x) in eine Reihe ent 
wickelt werden, deren Glieder die Form 
2ra . 2nr 
A cos —— x, nsin —— x 
2a 2a 
haben. Wegen der Gleichung F(x + d) — — Fix) muss aber jedes Glied sein 
Zeichen ändern, wenn x + a für x gesetzt wird, und es können daher nur un 
grade Werthe von r Vorkommen. Somit hat man in diesem Falle 
•7-,. . . 7T . 3tt . (2r + 1) 71 
F{x) — -4 0 cos — x + ^IjCos — x-\ hA- C0S ^ + 
a a a 
-r, . 71 TJ . 3tt . (2r+l)TT 
+ Bf. sm — x + B. sin — x H b B r sin - x -b 
0 a a a