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ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR-FUNCTIONEN. 
und imaginären Werth von u und h feststeht, so kann man ein ganz ähnliches 
Verfahren befolgen, wie Herr Jacobi in den »Fundamentis« bei den Reihen- 
Entwicklungen der Functionen H(m), 0(w) aus den unendlichen Froducten, 
wodurch sie ursprünglich dargestellt sind, und man reicht dann mit den in 
§ 4 entwickelten Formeln aus. Man kann aber auch von einer Transfor 
mation der in § 2 entwickelten partiellen Differential-Gleichungen ausgehen, 
und so auf einem ganz verschiedenen Wege zu denselben Resultaten gelangen. 
Man hat (§ 4, (7.)) 
at(m+2ä') s \tuu 
e Al (m + 2 K) = e Al (w), 
und man kann daher e' i ~ uu Al(m), wenn man zugleich berücksichtigt, dass diese 
Function grade ist, in eine beständig convergirende Reihe von der Form 
A 0 + 2A t cos 2rfii + 2A 2 cos 4r ( w 4 2A r cos 2rr t u 4 , 
oder wenn man 
e = e 
f] Ul 
setzt, 
A 0 + A t (z 2 +z 2 ) + A 2 (z*+z 4 ) 4- ••• 4- A r (z- r +z ir ) + --* 
entwickeln, wo r t = ist. Diese Reihe möge durch F(z) bezeichnet werden, 
so dass man 
\-zuu 
hat. 
(1.) 
A1(m) = Ffe) 
K r a 
Man bezeichne ferner durch 0 und e~* durch h. 
Setzt man nun in (1.) u+ 2K'i für m, so geht y\ui in t\ui— b, also z in hz 
über, und es ist 
e~ * Al(u+2K i) = F{hz). 
Aber — nach § 4, (8.) — 
— 2E'(u+K'i)i 
Al (u + 2K'i) = —e K } Al(w), 
und daher, wenn man bemerkt, dass 
i / , _ (K—E)K'—KE' . n (K-E)K'-KE’ 
\t(u + 2K%)*—2E(u + Ki)i — 2 ^ ut—2 — K 
2tt IC 
= 1 ~u~— ui 4- K = j ~u 2 — 2t\ui 4- & 
2 K 
K 
ist,