ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR - FUNCTIONEN. 
41 
und betrachtet dann <[> als Function von t und h, so transformirt sich die 
Differential - Gleichung 
in 
^+2 V»*L 
du du 
+ 21c(l — k 2 )^~ + Fu 2 y = 0 
ö 2 <l> Ö4 
W = 4 ~dW' 
(g) 
Nimmt man a — 1, 6=0, d— 0, b'= 1, so geschieht der Bedingung 
ab'—bd— 1 Genüge; man hat dann, wie im vorigen §, 
x = 1 — 
E_ 
K’ 
TZ 
2K’ 
IT 
K 
und die Functionen 
a y/ lc ^TUU 
e 2 Al(w) 
A-l (^) 2 ) 
1 Lx uu 
±-e 2 Al(w) : 
„ \ß- e * 
T UU 
Al (u) 
genügen, als Functionen von 0 und t — -qu betrachtet, sämmtlich der Gleichung 
(g). Bezeichnet man sie der Reihe nach durch Al(i) 1? Al(f) a , Al(i),, Al(i), 
so hat man nach § 4,(7.), weil t in t + % übergeht, wenn u+2K für u gesetzt 
wird, __ 
n \ ( Al(i + «)i = -Al(Ol» Al(t4*tc) 2 = -A1(0 2 , 
I Äl(i + 7i), = Ä1(0„ Al(C + 0 = Al(<), 
und dem § 5 gemäss kann man also setzen 
Al(i) x = «osini + oij sin h u r sin (2r + 1) t-\ 
A1(0, = ßoCOst + ßt cos3iH t-/3 r cos (2r + 1) t-\— 
A1(0 3 = \Vo + Yi cos 2 ^ + y 2 cos H— + y r cos 2rt 4 
Al (¿) = y $ 0 4" cos 21 4- d 2 cos 4£ -f- • • • + S r cos 2vt -f- • • • , 
wo dann die Coefficienten Functionen von 0 sind. Substituirt man diese 
Reihen in (g), so erhält man 
4 
da r 
(2r + l) 2 a r = 
ÖYr 
d& 
+ r 2 y r 
0, 
^ + (2>-+l)"/5. = », 
+ = °- 
0