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ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR - FUNCTIONEN. 
oder 
_ (2r+l) 3 ft (2r + 1) 9 
a r = a r e 4 = a r h * 
-rr% 
y r = c r e = c r h rr , 
_ (2r-H>*.<) (2r+l> 9 
ß r = b r e 4 = b r h 4 
— irö 
d r = d r e = d r lr, 
wo a , 6 , c , c? Constanten sind. 
Setzt man w = 2K'i, so wird Al(i«) 1 = 0; es geht aber dann t in öi über, 
und es wird 
j (2r + D_ a / + ( 2, + l)ö _(2,- + l)8\ i ( ir.+»* 
a,sin(2»-+l)< = Lo,Ä ‘ (e -e ) = ja r h‘ (*-*+»_*•■+■) 
2r + l 2r— 8 • 2r+ 1 2r + 5 
= |fl r Ä 2 2 -|a r Ä 2 2 , 
und es muss also für jeden Werth von Ä; 
20+1 20-3 2«+l ja+5 
0 = Sa„7i 2 2 -Saji 2 2 , 
oder 
_ 3 _g 20+120+5 20+1 20 + 5 
0 = aji x + a l h T + Sa u+2 h 2 2 — Sa a 7i 2 2 
sein, wonach man a t = — a o , a a+2 = a u , und somit allgemein 
«« = (-l)X 
erhält. Ferner, wenn man u = K+2K'i nimmt, so wird A1(m) o =0; aus t 
wird dann -jj- + di, und aus ß r cos(2r + i)t 
2r + l 2r + 5 2r + l 2r — 
2 2 _ h 2 2 
(2r + l) a ■ / 
— (— 1 ) r ^r^ i 4 sin(2r+ l)di = (— 1)'— b r [h 
und es muss daher 
20+1 20+5 20+1 20-3 
0 = S(-lfb.h ■ 1 -S(-iybJi * ‘ , 
Ì 
oder 
__ 3 __ g 2«+5 2«-fl 2tt-3 
0 = -b 0 h i + b 1 h T + S(-lfbji 2 2 —S(-i) a b a+i h 2 2 
sein, woraus 
d. h. allgemein 
^i b ot b (t+a — b a 
b n = K