Ululili 
wird, 
und 
UBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR-FUNCTIONEN. 
9(0) = dem unendlichen Producte (1 — hz 2 )(l — h 3 z 2 ) •••(! — li 2r+1 z 2 ) • ■ ■ 
9(7)= « » » (1 — hz~ 2 ) (1 — Ä 3 0 -2 ) • • • (1 — h 2r+1 ¿r 2 ) • • •, 
cp (1) cp(l) 
Es hat also $(z) für jeden Werth von z einen bestimmten, endlichen Werth; 
und weil 9 [z] durch eine beständig convergirende Reihe dargestellt ist, so kann, 
wenn man z — e 1 ** 4 , und — — e T{m setzt, 9 (z), 9^-j und somit auch $(z) nach 
ganzen Potenzen von u in eine beständig convergirende Reihe entwickelt 
werden, woraus dann, in Verbindung mit dem Umstande, dass Q?(s) ungeändert 
bleibt, wenn u + lK für u gesetzt wird, unmittelbar folgt, dass fj(«) durch 
eine convergirende Reihe von der Form 
A 0 + 2 A 1 cos 2r t u + 2A 2 cos 4r t u + 
A 0 + A x (z 2 + z 2 ) + A 2 (z 4 + z~ 4 ) + 
w muss k 
Vermöge 
von i » 
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1 \Jlce A1(m), 
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1 4 / 1 z'z'Ull . , v 
J y Y e 
11; \ 
\ e Al(w) 
wo 
ist. 
oder 
darstellbar ist. Nach dem oben Gesagten kann man also in der That schliessen, 
dass 
SW = FW 
ist. 
e 2 Al(w) =G(1- hz 2 ) (l - h*z 2 )... (l - h 2r+1 z 2 ) ■ • • x (1 - hz~ 2 ) (1 - h 3 z~ 2 ) •••(!- h 2r+l z~ 2 )...,