DEREN ABSOLUTER BETRAG ZWISCHEN ZWEI GEGEBENEN GRENZEN LIEGT. 63 
und vermöge (5.) 
V = -f-co 
(7.) 2 A v x y = F[x) 
V = — CO 
für jeden Werth von x innerhalb der bezeichneten Grenzen. 
Uebrigens lässt sich leicht nacbweisen, dass, wenn eine Function durch 
eine Reihe von der Form (7.), die für alle, ihrem absoluten Betrage nach 
zwischen zwei Grenzen A, B liegenden Werthe von x unbedingt convergirt, 
dargestellt werden kann, sie die in § 1 angegebenen Bedingungen erfüllt, so 
dass diese nicht allein hinreichend, sondern auch nothwendig sind. 
§ 4 - 
Wenn die Veränderliche x alle Werthe haben kann, deren absoluter 
Betrag eine bestimmte Grenze nicht überschreitet, und wenn F(x) für keinen 
Werth von x in der Nähe von 0 unendlich gross wird, so kann man aus dem 
in § 3 bewiesenen Umstande, dass der absolute Betrag von A_ v kleiner als 
Md ist, wenn M den grössten absoluten Werth bezeichnet, den F(aw) für 
die verschiedenen Werthe von w erhält, folgern, dass 
A v = 0 
ist für jeden negativen Werth von v. Denn man kann unter den gemachten 
Voraussetzungen a beliebig klein annehmen, während M eine bestimmte Grösse 
nicht überschreitet. In diesem Falle lässt sich daher F{x) in eine Reihe von 
der Form 
A 0 + A x x + A 2 x 2 + • • • + A v x v + • • •, 
die nur ganze positive Potenzen enthält, entwickeln. 
Wenn dagegen die Veränderliche x alle Werthe erhalten kann, deren 
absoluter Betrag eine gewisse Grenze übersteigt, und wenn F(x) überdies für 
keinen unendlich grossen Werth von x unendlich gross wird, so kann man 
aus dem Umstande, dass A v kleiner als Nb~ v ist, wenn N den grössten abso 
luten Werth bezeichnet, den F(bw) für die verschiedenen Werthe von w er 
hält, folgern, dass A v — 0 ist für jeden positiven Werth von v. Denn man 
kann b so gross annehmen, dass b~ v kleiner wird als jede gegebene Grösse, 
während N eine bestimmte Grenze nicht überschreitet. Man kann daher in