Full text: Abhandlungen I (1. Band)

64 DARSTELLUNG EINER ANALYTISCHEN FUNCTION EINER COMPLEXEN VERÄNDERLICHEN, 
diesem Falle F(x) in eine Reihe von der Form 
^o+S -4-v X ~ V 
r = 1 
entwickeln, die für alle Werthe von x innerhalb der bezeichneten Grenzen 
absolut convergirt. 
§ 5. 
Setzen wir F(x + Je) für F(x) und betrachten jetzt Je als Veränderliche, 
so hat die Function _F(<2? + ft), wenn wir die absoluten Beträge von x und Je 
durch r und p bezeichnen, für alle Werthe von ft, welche so beschaffen sind, 
dass r+ p innerhalb der Grenzen liegt, zwischen denen der absolute Betrag 
von x sich bewegt, diejenigen Eigenschaften, die erforderlich sind, damit sie 
nach Potenzen von ft entwickelt werden kann. Da ferner F(x + Je) für keinen 
Werth von ft in der Nähe von Je = 0 unendlich gross wird, so kann man 
nach § 4 setzen 
F (x + ft) == F 0 +F 1 ft + F 2 ft 2 +..- = N1 F„Jc\ 
V r=0 
und es ist, wenn ft 0 irgend einen.bestimmten Werth bezeichnet, den ft erhalten 
kann, zufolge (4.) 
1 /* +co F(x + Jc 0 w) 1 div 
2rd oo le n 0 w n w dl 
Man hat aber, wenn man in (7.) x + Je o w für x setzt, 
F(x + h 0 w) = 2 A v (x + Jctv) v , 
V = — co 
dk. 
mithin 
F = f +a) ( x + Ic o w y 1 dw ,7i 
” 2 Tri v F-± o, V ~ ft” w n iv dk 
Nimmt man, was erlaubt ist, den absoluten Betrag von ft 0 kleiner als den von 
<2?, so kann man (x + Je o w) v in eine convergirende Reihe 
x v + v t x v ~ l Je 0 iv -\ \- v n x v ~ n ft” iv n -\— 
entwickeln, wo v 2 , . . . die Binominalcoefficienten für den Exponenten v be 
zeichnen. Multiplicirt man diese Reihe mit -j-} — -F- dk und integrirt 
zwischen den Grenzen k = — oo und k = + cxd, so erhält man vermöge des in
	        
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