64 DARSTELLUNG EINER ANALYTISCHEN FUNCTION EINER COMPLEXEN VERÄNDERLICHEN,
diesem Falle F(x) in eine Reihe von der Form
^o+S -4-v X ~ V
r = 1
entwickeln, die für alle Werthe von x innerhalb der bezeichneten Grenzen
absolut convergirt.
§ 5.
Setzen wir F(x + Je) für F(x) und betrachten jetzt Je als Veränderliche,
so hat die Function _F(<2? + ft), wenn wir die absoluten Beträge von x und Je
durch r und p bezeichnen, für alle Werthe von ft, welche so beschaffen sind,
dass r+ p innerhalb der Grenzen liegt, zwischen denen der absolute Betrag
von x sich bewegt, diejenigen Eigenschaften, die erforderlich sind, damit sie
nach Potenzen von ft entwickelt werden kann. Da ferner F(x + Je) für keinen
Werth von ft in der Nähe von Je = 0 unendlich gross wird, so kann man
nach § 4 setzen
F (x + ft) == F 0 +F 1 ft + F 2 ft 2 +..- = N1 F„Jc\
V r=0
und es ist, wenn ft 0 irgend einen.bestimmten Werth bezeichnet, den ft erhalten
kann, zufolge (4.)
1 /* +co F(x + Jc 0 w) 1 div
2rd oo le n 0 w n w dl
Man hat aber, wenn man in (7.) x + Je o w für x setzt,
F(x + h 0 w) = 2 A v (x + Jctv) v ,
V = — co
dk.
mithin
F = f +a) ( x + Ic o w y 1 dw ,7i
” 2 Tri v F-± o, V ~ ft” w n iv dk
Nimmt man, was erlaubt ist, den absoluten Betrag von ft 0 kleiner als den von
<2?, so kann man (x + Je o w) v in eine convergirende Reihe
x v + v t x v ~ l Je 0 iv -\ \- v n x v ~ n ft” iv n -\—
entwickeln, wo v 2 , . . . die Binominalcoefficienten für den Exponenten v be
zeichnen. Multiplicirt man diese Reihe mit -j-} — -F- dk und integrirt
zwischen den Grenzen k = — oo und k = + cxd, so erhält man vermöge des in