DEREN ABSOLUTER BETRAG ZWISCHEN ZWEI GEGEBENEN GRENZEN LIEGT. 65 
I. 
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§ 3 Erwiesenen 
J—CO 
x + Jc 0 w'y 1 dio 
k*w n w dl 
-7—dl — 2Tiiv n x v " 
und daher 
(9.) 
F 
n 
V 
2 v n A v x v ". 
V = — CO 
Bezeichnet man nun durch F (v (x) die Abgeleitete der Function F(x), d. h. 
den Coefiicienten von Je in der Entwicklung von F{x + 1c) nach ganzen Potenzen 
von Je, so ist 
(10.) 
F a \x) = 2 vA v x v ~\ 
V = — CO 
Diese Reihe ist, wie aus ihrer Herleitung unmittelbar folgt, convergent für 
alle diejenigen Werthe von x, für welche ^A v x v convergirt, und daher ist 
F w (x) eine Function, welche für alle Werthe von x ganz denselben Cha 
rakter hat wie F(x). Bezeichnet man nun durch F m (x) die Abgeleitete 
von F w (x), durch F (3 \x) die von F w (x) u. s. w., so folgt sofort, dass sämmt- 
liche Functionen 
F{x), F a \x), F w (x), F (3 \x), ... 
den in § 1 angegebenen Charakter haben. Nun hat man 
/ F a \x) = '%vA v x v - 1 
\ F m {x) = Sv(v-1 )A v x v ~ 2 
(11.) < F w (x) = 2 V ( v ~ 1)[v— 2)A v x v 3 
\ F M (x) = ^¡v(v—l)(v — 2)...(y—n+l)A v x v ~ n — n\'2jv n A v x v ~ n . 
Hieraus ergiebt sich vermöge (9.) 
(12.) 
Also hat man, da F 0 — F(x) ist, 
(13.) F(x + lc) = i’(:t:)+i" ,> (a:)~ + F a >(*) —+ ••• 
wo F (0 \x) = F(x) ist, für alle diejenigen Werthe von x und Je, die so be 
schaffen sind, dass die Summe ihrer absoluten Beträge zwischen den Grenzen