ZUR THEORIE DER POTENZREIHEN. 
wo e<2d ist. Lässt man sodann die Zahl l ohne Ende wachsen, so nähern 
sich die Ausdrücke unter den Summenzeichen auf der rechten Seite der 
Gleichung der Grenze Null, während die Summe auf der linken Seite niemals 
>g wird. Setzt man also 
\A 0 \ = iJ + e', 
so ist e'<e, und es kann also A 0 dadurch, dass man den Zahlen ri, n hin 
reichend grosse Werthe giebt, der Grösse g so nahe gebracht werden als man 
will, woraus sich, da der Werth von A 0 von den Zahlen ra, n unabhängig ist, 
unmittelbar ergiebt, dass |A o | niemals >g ist. 
Wendet man nun, unter g eine beliebige ganze Zahl verstehend, diesen 
Satz auf die Function F(x).x~^ an, so unterscheidet sich letztere von der 
ersteren nur dadurch, dass gr~^ an die Stelle von g und A t an die Stelle von 
A 0 tritt, und es ergiebt sich also 
A.l^gr-*. 
Es sei 
F{pCii ••• 'Eq) — 2^fv,,r 9 ,... Vo *®1 
(v n v 2 ,... V 0 = -oo-- + oo) 
wo a if ¿e a1 ... a complexe Veränderliche bedeuten, während die Coefiicienten 
A gegebene Constanten bezeichnen und so beschaffen sein sollen, dass die Reihe 
auch für Werthsysteme (pc^ ¿r 9 , ... a?), in denen jede einzelne Grösse von Null 
verschieden ist, convergirt. Wird dann irgend ein System positiver Grössen 
r i? r a , ... r Q so angenommen, dass die Stelle {x i = r i? a? 2 = r a , ... «r ? = r ) dem In 
nern des Convergenzbezirkes der Reihe angehört, so hat der absolute Betrag von 
F{oc 0 x 8 , ... x^) für diejenigen Werthsysteme («r^ a? a , ... a? ), in denen |a?J = 
ja? s | = r 2 , ... |o? | = r ist, eine obere Grenze, die mit g bezeichnet werde; und 
es gilt der Satz 
^gr~ (ll r~ lla ... 
für jedes System ganzzahliger Werthe von , g 2) 
Da die betrachtete Potenzreihe für die der Bedingung! 
^1 = r 9 
entsprechenden Werthsysteme (j? l7 a? a , ... x ) gleichmässig convergirt, so lässt 
sich aus ihr nach Annahme einer beliebigen positiven Grösse d eine endliche