ZUR THEORIE DER POTENZREIHEN. 
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Da man nun für jedes bestimmte, dem Bereiche G ungehörige Werthsystem 
(a? x , oc 2 , ... a? ) zunächst r 1? r 2 , ... r der angegebenen Bedingung gemäss und 
dann k so annehmen kann, dass 
7» 1 2 ' V I 1 7. 
/>/ z z z hz/i- 
^ 1 ^ 2 ’2 G 
kleiner ist als eine beliebige gegebene Grösse, der Ausdruck auf der linken 
Seite der vorstehenden Gleichung aber von k unabhängig ist, so folgt, dass 
‘ H F^x,, x 2 , ...x ) = SA v v . vX 1 x? - - • Xq Q 
ft = 0 (■J/) ' 
sein muss. 
Jetzt mögen 
F 0 (x 1 , x 2 , .., xS), -G (^j, ir 2 , ... Xg~) j F 2 {x 1 , x 2 , ... 3? 0 ) 
irgend welche eindeutigen Functionen von a? l7 a? a , ... a? bedeuten, welche die 
Bedingung erfüllen, dass für alle einem zusammenhängenden Bereiche G an- 
gehörigen Werthsysteme (a? x , a? a , ... a?) die Reihe 
x 2 , ...x ) 
fl = 0 
unbedingt und gleichförmig convergirt. 
Nimmt man dann in G eine bestimmte Stelle (a x , « g , ... a) beliebig an 
und setzt 
X t = Cl^ + , X 2 ü 2 + £ 2 , ... + Ijj , 
so lässt sich jede Function a? 2 , ... a?J in eine gewöhnliche Potenzreihe 
von Sj, £ a , ... entwickeln und im Gebiete der Grössen H x , £ a , .. • eine Um 
gebung der Stelle (^ = 0, £ 2 = 0, ... ^ = 0) angeben, innerhalb welcher die 
Reihe 
2 Ffx (^1 ^2) "* 
ft = 0 
unbedingt und gleichförmig convergirt, und somit nach dem vorstehenden Satze 
in eine Potenzreihe von S x , $ 2 , ... £ verwandelt werden kann. Damit ist erwiesen, 
dass innerhalb des Bereiches G die Summe 
HF (x t , x 2 , ...x ) 
ft 
eine eindeutige analytische Function von a? 1? a? 2 , ... ist. 
I. 
Ferner ergiebt sich, 
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