VERMITTELST ALGEBRAISCHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
79 
Wenn also die Reihe 
für einen bestimmten positiven Werth von x convergirt, so ist dies sicher 
auch der Fall mit der Reihe 
für jeden Werth von dessen absoluter Betrag nicht grösser als x ist. 
Ein Functionensystem ... xj, ... & n (x it ... xj von der verlangten Be 
schaffenheit findet man z. B. folgendermassen. Man bestimme eine positive 
Constante g und eine ganze positive Zahl m so, dass in der nach Potenzen 
von x t , ... x n ausgeführten Entwicklung des Ausdrucks 
&(Xi, ...x n ) = 0(1 + ^+••• + £„)’" 
der Coefficient jedes Gliedes nicht kleiner ist als der grösste Werth, den in 
den entsprechenden Gliedern der Functionen Cr (x i , ... xj, ... G n (x^ ... xj die 
absoluten Beträge der Coefficienten erreichen, und setze fest, dass für jeden 
Werth von l 
sein solle. Mittelst der Formeln (11.) ergiebt sich dann, wenn man 
x = x 1 -\ b# n 
setzt, 
(15.) • •.«.) = ^-^*(1, + (m-l)y(l + xy (m - 1)+1 
Diese Gleichung gilt zunächst für v = 1. Angenommen, sie sei für irgend 
einen bestimmten Werth von v bewiesen, so ergiebt sich aus (11.) 
= nn v 1 g v + (wt—l)) v (1 + x) vim ~ 1)+1 \-g(l + x) m 
= n v g r+1 (1, + {m — l)) v (1 + v (m — 1)) (1 + æ) (v+1) Cm-1)+1 
= n v g v+1 (1, + (m-l)) r+1 (1 + ' 
.(r+l) (m-D+l 
Es besteht also die Gleichung (15.) auch noch, wenn man die Zahl v um 
eine Einheit vermehrt; sie ist demnach allgemein gültig.