VERMITTELST ALGEBRAISCHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 81 
Es mögen jetzt die Coefficienten der in den Differentialgleichungen (1.) 
vorkommenden Functionen G t {x^ ... a? n ), ... G n (x i: ... x n ), und ebenso die mit 
a. ... a bezeichneten Anfangswerthe der zu bestimmenden Grössen x , ... x 
eindeutige analytische Functionen beliebig vieler, einem zusammenhängenden 
Bereiche angehörigen unabhängigen Veränderlichen u , w 2 , ... sein, und es 
werde angenommen, dass innerhalb dieses Bereiches die absoluten Beträge der 
genannten Coefficienten, sowie auch der Grössen a, ... a n , sämmtlich unter 
einer endlichen Grenze liegen. 
Nach dem Vorhergehenden lässt sich nun eine positive Grösse r so an 
nehmen, dass jede der Reihen ^(i), ... $ n (0 für jedes der betrachteten Werth 
systeme u xi w a , ... unbedingt convergili, wenn festgesetzt wird, dass der ab 
solute Betrag von t kleiner als r sein solle. Versteht man dann unter r 
irgend eine zweite positive Grösse, die kleiner als r ist, und bestimmt, dass 
der Veränderlichen t nur solche Werthe beigelegt werden sollen, die ihrem 
absoluten Betrage nach kleiner oder eben so gross als r sind, so giebt es 
für die absoluten Beträge der Werthe, welche alsdann die Functionen 
%(*)»••• SP.W annehmen können, eine obere Grenze, die mit R bezeichnet 
werden möge. Nach einem bekannten Satze ist dann, wenn der Coefficient 
von f in ^(#) mit 
% V ( ? Ü ? 1 * * 0 
bezeichnet wird, 
Hebt man also aus der Reihe ^(i) die m ersten Glieder heraus, so ist die 
Summe der übrig bleibenden ihrem absoluten Betrage nach kleiner als 
r 
Ì 
kann also durch Vergrösserung von m so klein gemacht werden, wie man 
will. Die Reihen ^(i), ... ^„(0 convergiren somit für die den angegebenen 
Bedingungen entsprechenden Werthsysteme der Veränderlichen t, m , ... nicht 
nur unbedingt, sondern auch gleichförmig, und bilden also ein System ein 
deutiger analytischer Functionen dieser Veränderlichen. (Vgl. die Abhand 
lung »Zur Theorie der Potenzreihen«.) 
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