Abel'sehe Integrale, (p. 33)
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Anwendung- der Abel'schen Functionen in der Geometrie (Journ. für r. u. a.
Math., Bd. 63, S. 221—-222). Doch scheint Clebsch keineswegs beabsichtigt
zu haben, die besondere Eigenschaft des da {= dg), weder Null nocli Unendlich
zu werden, als Definition einer besonderen Curvengattung zu Grunde zu legen.
Den Werth des p erreicht er dabei (nach Salmon) auf einem nicht ohne Weiteres
auf höhere Werthe von n zu verallgemeinernden Wege. Die Leichtigkeit, mit
welcher sich letzteres ganz allgemeine Resultat jetzt ableiten lässt, Formel (14),
verdanken wir zum Tlieil dem Begriffe der „kanonischen Curven“.
§ 6. Die zur elementaren Curve gehörigen cp können als rationale ganze
homogene Functionen der Coordinaten definirt werden.
Im Riemann-Roch’schen Satze: B) sind die Formen <p, wie im vorigen
Paragraphen bemerkt, als bekannt vorausgesetzt. Es ist also, zum Beweise
des in Aussicht genommenen allgemeineren Theorems, vor Allem der Beweis
zu liefern, dass die Formen cp als rationale ganze Functionen der j
/ o v n-\-1
darstellbar sind. Nun folgt aber aus der Darstellung des dto, dass auf
unserer elementaren Curve die rationalen ganzen homogenen Functionen der
.. . g , vom Grade (»n +w 0 4- .. . m —n—1) == (S—n -1) lineare Ver-
bindungen der Formen cp sind. Die Zahl der linear unabhängigen cp ist
gleich p 1 und es bleibt also, um den Hilfssatz zu beweisen, nur übrig, zu
zeigen, dass es p linear unabhängige rationale Formen des besagten Grades
auf der Curve giebt, Dass dies richtig ist, ergiebt sich auf folgende Weise:
Die Zahl der überhaupt im existirenden linear unabhängigen
rationalen Formen G„' Az.z„...z A ist die combinatorische Zahl:
S—H.—1 x 1 2 -j), 4-1 ’
Von den so abgezählten Formen sind aber nicht alle auf der Curve linear
unabhängig. Denn zwei Formen (i und G' werden auf der Curve immer
dann gleich'werthig sein, wenn sie durch eine identische Relation von der Gestalt:
(15) G' = >..& + M,. f mi + M, .f m +...+ M n _, . f„, n
verbunden werden, unter M v . . . rationale Formen geeigneten Grades der
z v s. 2 ... verstanden. Umgekehrt besteht, nach Satz B), zwischen zwei auf
Nova Acta LVII. Nr. 2.
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