setzen, (a„ - stn + j) . d Thaler. Ohne Weiteres leuchtet ein, daß die Bank 
leistungen am Ende des 2tcn, 3ten, rc. Jahres der Reihe nach betragen werden 
ft n -f- i stn +2/ ft n -J- 2 ft n -{- 3 , ön-f 3 ft n -f- 4 
und ihre baaren Werthe 
(ft n _j_ ! ft n + 2) d 2 , (stn-)- 3 ftn-f-3)^^, (ftn-f-3 ft n -f- 4) d 4 , w., 
so daß der baare Werth der Gesammtleistung der Bank für sämmtliche ft n Personen 
gleich der Summe 
S = (ft u 7-- ft n + I) d 4“ ( a n 4. t — ft n + 2) ^ ‘ 4" ( st ti -f 2 — ft n-f 3) ^ 3 + • • • • 
ist. Diesem Werthe von S können wir durch leichte Entwickelung eine andere 
Form geben. Wir erhalten nämlich, wenn wir mit den Potenzen von d aus 
multipliciren, 
S — [ft n d + ft h 4. I d 2 + ft 11 4. 2 d 3 + ...] 
[stn + ! d 4* ft n 4-2 d 2 st n 4. 3 d 3 ■+■ ...] 
— [ftnck -f- d (ft n -f i d + ft n 4. 2 d 7 + • • •)] 
~~ [ft n 4- i d st n 4- 2 d ' -f- • • •] 
= a tl d — (l — d)[a n+I d+ a v+2 d 2 + ...]. 
Dies ist der baare Werth der Gesammtleistung der Bank für sämmtliche a n Per 
sonen und es beträgt deshalb der baare Werth der Leistung einer Person, wenn 
wir denselben mit x bezeichnen, 
S 
d 
(!-<*>{ 
ftn + i ck -j- ft n 4. ä d 2 + • • • 
oder wenn wir Zähler und Nenner in der großen Klammer mit d u multipliciren, 
x = d — (1 — d)\ an . + . 
j» + * . ,n + 2 
j d + st n -f 2 ft~f~ • • • 
ft n d n 
Wir überzeugen uns, daß die große Klammer in ihrer jetzigen Form ganz über 
einstimmt mit dem Ausdruck (4) im vorigen Kapitel und also den baaren Werth 
einer Leibrente für eine njährige Person ausdrückt. Wir können somit unser x 
auch kurz so schreiben: 
x = d — (1 — d)L n . 
Um dafür noch die für die Berechnung bequemste Form zu finden, setzen wir wie 
der den Werth 
100 
d ~ 100+p