X f 
n 
Ist Z n = 1, so erhält man 
K 
r — 1 
(5 a) 
r (r n — 1)’ 
2) Es soll der gegenwärtige Werth von n Einzahlungen, jede einzelne im 
Betrage K, bestimmt werden, wenn jetzt die erste Einzahlung und jedesmal nach 
Ablauf eines Jahres wieder eine Einzahlung erfolgt. Wir bezeichnen den gesuchten 
Werth mit G n . Der gesammte gegenwärtige Werth der sämmtlichen Einzahlungen ist 
gleich der Summe der gegenwärtigen Werthe der einzelnen Einzahlungen. Die erste 
Einzahlung erfolgt zu demselben Zeitpunkt, für welchen der gegenwärtige Werth be 
stimmt werden soll, der Werth ist demnach ungeändert = K. Die zweite Einzahlung 
erfolgt nach einem Jahre, die dritte nach 2 Jahren u. s. w. und die wte nach (n—1) 
Jahren. Mit Anwendung der Formel (2) hat man demnach 
K . K 
r -K 4-X . Xi X. 
G n K-{- r ~T r 2 \ r z\ ■ 
,n — 2 
. n — 1 ’ 
oder 
K fl , J_ , J_, J_ . _J ,_J_\ 
1 \ r I r 2 I r 3 “T r n-2 \ r n-1 J- 
Bezeichnen wir den Ausdruck innerhalb der Klammer mit B, so ist 
1 1 +-+-+-+ 
r r 2 “ r 3 ~ r 4 I 
B .— = 
r r 
-1 I 
und wir finden in ähnlicher Weise wie oben 
1 
B — B. 
und 
B = 
Setzt man diesen Ausdruck in die obige Formel, welche den Werth von G n angiebt, 
ein, so erhält man j 
G n = K. 
X 
Ist K— 1, so wird 
1 — 
G n ■ 
(6) 
(6a) 
& 
Anmerkung 1. Kapitalbeträge, welche in regelmässiger Wiederkehr gezahlt werden, 
nennt man Renten, mul wenn sie während einer bestimmten Zeit gezahlt werden, auch wohl Zeit 
renten. G n ist somit der gegenwärtige Werth einer Zeitrente, welche n Jahre läuft, oder der Werth 
der Zeitrente hei Beginn der Rente. Z n ist der zukünftige Werth einer solchen Zeitrente und zwar 
für das Ende desjenigen Jahres, an dessen Anfang die letzte Zahlung stattfindet. Die beiden Grössen 
G n und K n als Werthe derselben Zahlungen für verschiedene Termine stehen daher auch zu ein 
ander in dem Verhältniss, dass jt n der zukünftige Werth von Gn nach n Jahren und G n der