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Die umgekehrten Werthe (Reciproken) des gegenwärtigen Werthes und des zukünftigen
Werthes einer Zeitrente haben eine constante Differenz, gleichviel wie viel Jahre die Zeitrente läuft
und diese Differenz ist r i i
=1 —•
r r
Der zukünftige Werth einer n Jahre laufenden Zeitrente für das Ende des Jahres, bei dessen Beginn
die letzte Rentenzahlung stattfindet, beträgt, wenn der Jahresbetrag der Rente K ausmacht,
K.Zn,
wenn hier unter Z n der entsprechende Werth für die Zeitrente mit dem Jahresbetrage 1 verstanden
wird. Soll nun der zukünftige Werth der Zeitrente mit dem jährlichen Betrage gerade 1 ausmachen,
80 ist K.Zn = 1
und
K =
Mit Hilfe der Formel (8) findet man ferner
K-
G n r
Anmerkung 2. Nach Formel (6 a) ist für 1 als jährlichen Betrag der Zeitrente
1
(9)
(9 a)
G n =
1 —
1
Denkt man sich hier n immer grösser und grösser, so wird, da r >* 1, also — ein ächter Bruch ist,
immer kleiner und kleiner, und für unendlich grosses n (n= oo) geht dieser Ansdruck in Null
über und wir erhalten als Werth einer ewigen Rente, am Anfänge jedes Jahres mit dem Betrage 1
zahlbar, i
G r =-
oder
(io)
Der Werth einer dauernden Zinszahlung unterscheidet sich von diesem Werthe, da bei einer Zins
zahlung, sofern es sich um eine jährliche Zinszahlung handelt, die erste Zahlung erst nach 1 Jahre
stattfindet, um den Betrag 1. Der Werth einer andauernden, jährlich 1 ausmachenden Zinszahlung
r
ist also
oder
G„- 1
r — 1
1,
G r
1 =
1
r ! • (10a)
Bei 4 °/ 0 iger Verzinsung ist also z. B. der Werth der andauernden Zinszahlung im jähr
lichen Betrage 1 x 1
1,04 — 1 0,04
= 25.
3) Es handelt sich darum, den zukünftigen und gegenwärtigen Werth einer
Reihe von Zahlungen zu ermitteln, deren erste jetzt mit dem Betrage 1 erfolgt, die
zweite nach einem Jahre mit dem Betrage 2, die dritte nach 2 Jahren mit dem Be
trage 3 u. s. w. und die letzte mit dem Betrage n nach (n—1) Jahren. Der zu
künftige Werth dieser Zahlungen ist offenbar
rp ft —2 n —^ —|— 3 t n —^ —|— 4: t n —^ —{—
(n — 1) r 2 “j- n • t.
