e Zinsen der 
Anfänge des 
Sterbejahres 
lie einmalige 
indem einst 
ige Prämie 
n in solchem 
irungssumme 
Px in dem- 
(38 c) 
welche eine 
im Ende der 
(35 c) 
(37 a) 
45 
Anmerkung 4. Für postnumerando zahlbare Renten erhält man, da 
(i)Px = Px — 1, oder Px = (i)Px + 1, 
(l)Px, 
oder setzt man 
so ist 
Für die jährliche Prämie erhält man 
px 
<? = - 
Px — Q — ( 1 
(1 )Pj 
1 
1 +(l)Px 
d)Pa 
l + o 
(35 d) 
(38 d) 
1 + (l)Px 
Diese Formeln lassen sich auch durch folgende Betrachtung ableiten. 
Für die Zahlung der Summe q kann die Versieherungsbank ein Jahr später die Summe 
o . r = 1 zahlen. Zahlt nun eine xjährige Person jetzt und jedesmal nach Ablauf eines Jahres, so 
lauge sie lebt, die Summe q, so kann die Gesellschaft am Ende jedes Jahres zum letzten Male am 
Ende des Sterbejahres die Summe 1 zahlen. Diese Zahlungen mit Ausnahme der letzten bilden eine 
postnumerando zahlbare Rente, deren Werth (i)P x ist. Die Bank leistet aber offenbar dasselbe, 
wenn sie für diese Zahlungen, deren Werth (i)P x ist, jetzt und jedesmal nach Ablauf eines Jahres, 
(l)Px (l)Px 
so lange der Versicherte lebt, den Betrag 
Px 1 -f- (l)Px 
Zahlung eine praenumerando zahlbare Rente mit dem jährlichen Betrage 
d)Pj 
zahlt, denn hier bildet jetzt die 
(i)-Rx 
und deren 
Werth ist 
1 (l)Px 
X ( l + (i)Px j = (i)Px. Zahlt aber der Versicherte jährlich q und zahlt 
(l)Ps 
1 + <l)Px 
die Bank jedesmal, wenn der Versicherte zahlt, zugleich 
und ausserdem am Ende des 
1 + (l)Px 
Sterbejahres die Summe 1, so heisst das mit anderen Worten, dass die Versicherungsbank gegen 
die jährliche Zahlung von 
„ fi>5i 
1 + (i)-Rx 
nach dem Tode die Summe 1 zahlt. Also ist die jährliche Prämie 
(l)Px 
Px ~ 9 l + (l)Px * 
Oder man kann so sagen: Am Anfänge zahlt der Versicherte o, nach einem Jahre zahlt er wieder q, 
erhält aber 1 von der Bank zurück und dies wiederholt sich so lange wie der Versicherte lebt und 
nach dem Tode des Versicherten zahlt die Bank noch einmal die volle Summe 1. Der Versicherte 
zahlt also am Anfänge des ersten Jahres q und erhält alljährlich, so lange er lebt, zum ersten Mal 
nach einem Jahre die Zahlung 1 — q und nach dem Tode zahlt die Bank noch die Versicherungs 
summe 1. Die Zahlungen, deren jährlicher Betrag 1 — q ist, bilden offenbar eine postnumerando 
zahlbare Leibrente und ihr gegenwärtiger AVerth ist (1 — o ). (i)P x . Giebt die Bank bei der 
anfänglichen Zahlung des Versicherten sofort diesen Werth zurück, d. h. zahlt der Versicherte 
q — (1 — q) . (l)Px ein, so hat die Bank für diese einmalige Zahlung nur noch nach dem Tode des 
Versicherten die Summe 1 zu zahlen, d. h. 
Px = q — (1 — q) (1 )Px.