272 10. Kap. Integration der linearen Differenzengleicliungen durch Reihen. 
schließen. — Mit Berücksichtigung der aus dem Satze I oder aus der 
ersten Stirlingsehen Formel (10. Kap., I, A, 2., Schluß) folgenden Ent 
wicklung 
1 _ ^„ P(g + 1) • • ' (9 + $ — !) / (0) = -I 
* + 1 ¿-1 (« + 9 + 1) (« + 9 + 2) • • • (x + Q + 1 + s) 
s = 0 
ergibt sich nun 
f s + i(p) = ?(? + !)••• (i>+s-l)/i(i>) (5=1, 2, 3,...). 
Aus der Rekursionsformel (6) erhält man daher für jede Wurzel p 
der determinierenden Gleichung f 0 (g) = 0, deren Wurzeln sich nicht 
um ganze Zahlen (inkl. 0) unterscheiden mögen, zur sukzessiven Be 
rechnung der Koeffizienten c k die Gleichungen: 
c i /*o(p + !) + c o /i(p) = 0 ; (/i(p) 4= 0), 
c 2 /o(P + 2) + c x /j(p + 1) + c 0 p /j(p) = 0, 
c 3Ío(q + 3) + c 2 /j(p + 2) + c x (q + 1) fi(ß + 1) + c 0 p(p + 1) = 0, 
usf. 
Wählt man c 0 = 
A(Q) 
, so ergibt sich 
Cl /0(9 + 1) » 
C 0 = 
9 /0(9 + 1) — /i(9 + 1) 
usf. 
' 2 /'o(9+l)/0(9+ 2) > 
_ (9 /0(9 + 1) — /1(9 + 1)) ((p +1) f 0 (9 + 2) fi (9 + 2)) 
/0(9 + 1) /0(9 + 2) /0(9 + 3) 
Ist daher 
U(q) = (p - «i)(p - «2 )••■((>- «»)> 
P /o(p + !) — /i(p +1) = (p — ßo)(p — ßi)f (p — A,)> 
so erhält man folgende Lösung der Differenzengleichung 2.: 
,. (i) _ r(«+l) 
r++ Kl +i) ■ 
f 1 , VI («1—Po )•••+! —fe) • • • («! —Po+» — 2 )--(«l —P W + y —2) 
l /(k,) f ^ J-! K - K 2 + 1) • •• K - K n + 1) • • • («1 — «2+D---( o: i — «» + «0 
r = 1 
1 Ì 
(«+«1 + 1) • • • («+«!+»') J 
und w — 1 analoge Lösungen u^\ u^\ . . ., u^'\ die zusammen ein 
Fundamentalsystem der Gleichung 2. bilden. 
S (hl 11 Betrachtung: 
Wenn wir die bisherigen Entwickelungen (1. Teil, 1. Kap. und 
.2. Teil) noch einmal zusammenfassend überschauen, so ergibt sich die 
bemerkenswerte Tatsache, daß die von uns betrachteten Differenzen-