Lagrangesche Gleichungen
173
§ 20
Die Lagrangesclien Gleichungen ergeben mithin den Impuls
satz (114), den wir der Dynamik des Elektrons zugrunde ge
legt haben.
Um aus den Lagrangeschen Gleichungen (116) den Energie
satz abzuleiten, multiplizieren wir sie mit q,=p, und summieren;
es kommt:
(116b)
2 qi dt (dq) 2 P? - dp, “ 2
X = 1 X = X ''¿ = 1
Hier steht rechts die Arbeit der äußeren Kräfte; setzen wir
8L
qx
x = 1
(116 c)
so wird
dW
dt
■ dL 'd (dL\
2 qi dq, 2 qi dt\dqJ
dL
dt ’
und da
so ist
x = 1
dL
dt
2 = 1
X • dL , X . dL
~2 qi dq, + 2 Vl dp,’
dL
X=1
dW
dt
XI d (dL\ X* •
-2
x = 1
X = 1
dL
dp,
identisch mit der linken Seite der Gleichung (116 b). Diese
ist demnach der Ausdruck des Energiesatzes, wofern W als
Energie des Systems gedeutet wird. Die Relation (116 c), welche
die Energie aus der Lagrangeschen Funktion ableitet, stimmt
nun mit unserer Gleichung (lila) überein. Denn es ist hier
71
X = 1
mithin wird (116 c)
(116d) W-
hi dL t
Ö I d I B I L ‘
In der klassischen Mechanik gewinnt man die Lagrangeschen
Gleichungen, indem man von den Newtonschen Bewegungs-