Die Wellenfläche der zweiaxigen Krystalle. 337 
und der Ellipse im Hauptschnitte xz, oder die End 
punkte der secundaren optischen Axen, sind also sin 
guläre Punkte der Wellenfläche. 
Für die Coordinateli x', y', z‘ der Punkte ergeben sich aus 
1) bis 3') folgende Beziehungen: 
a?' 2 
C 2 (¿2 _ a 2) 
> y 
0, Zf. 2 = 
ü 2 ( 6 .2 _ ¿2) 
« 2 
Die Krümmung der Fläche in einem singulären Punkte wird 
durch den Berührungs - Kegel dargestellt. Um seine Gleichung 
für einen der singulären Punkte, z. B. für den zwischen den 
positiven Hälften der x- und z-Axe gelegenen zu erhalten, bil- 
d 2 f 
den wir zunächst die Ausdrücke —— 
1 ÜZ 
2 da:' 2 
4 a 2 a:' 2 = 4a 2 o 2 
dx /2 
¿ 2 — « 2 
etc. Wir finden : 
- 
2 di/' 2 ^ 
1 
2 d^' 2 
1 d 2 / 
C 2 — a 2 
a 2 a:' 2 -i-c 2 ,e' 2 ) -f- b 2 (a?' 2 —P ^ /2 —a 2 — c 2 )- 
c 2 — 6 2 
(b 2 —a 2 )(c 2 ~b 2 ), 
2 dt/' d¿' 
4 c 2 *' 2 
0, 
4 a 2 c 2 
c 2 
a 2 ’ 
4 r4^;= 2(a 2 -j-c 2 )a:'^ / = 2ac(a 2 -|-c 2 )\/ — 
2 da:' dz'* v 1 ' v ‘ y V c 2 — a 2 
1 d 2 / 
Ò 2 ) 
0. 
2 da:' dt/' 
Die Gleichung des Berührungs-Kegels ist also: 
« 2 x /2 (a: — .r') 2 — -Z- (6 2 — et 2 ) (c 2 — 6 2 ) (?/—y') 2 -j- c 2 .e' 2 (2— ^') 2 
-f- (a 2 -j-c 2 ) a:'^' (a: — a:') (z—z')=z 0, oder: 
a 2 C 2 (¿2 tt 2) ^ a?')2 -j- (ß2 et2) (¿2 a 2) ( c 2 ¿2) (y y/)2 
-|-a 2 c 2 (c 2 —¿ 2 )(^—,e') 2 -|-ac(a 2 -|-c 2 ) y/ (b 2 — a 2 )(c 2 — b 2 )(x—x')(z—z') 
= 0. 
Es stellt diese Gleichung einen eigentlichen Conus des zwei 
ten Grades dar, dessen Spitze der singuläre Punkt ist, und von 
dem ein Axial - Hauptschnitt in die Ebene xz (Fig. 178 s. f. S.) 
fällt; dieser Hauptschnitt besteht aus den Tangenten xx, ss des 
22