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Zweite Abtheilung. Neuntes Capitel. 
fällt werden können, man erhält die gesuchte Gleichung der 
Supplements-Kegel. Es ist die folgende: 
a 2 x' 2 • z 2 -j- a 2 c 2 • y 2 -j- c 2 z' 2 • x 2 — (a 2 -f-c 2 )x'z' • xz — 0, oder: 
(b 2 — a 2 ) ¿ 2 -{- (c 2 — ci 2 ) y 2 -{- (c 2 — b 2 ) x 2 
+ -- 2 -+. c2 \j(b 2 — a 2 ) (c 2 — 6 2 ) ¿e* = 0. 
Dass die beiden Kegel, die durch die letzte Gleichung dar 
gestellt werden, gegen die yz- und yx-Ebene symmetrisch ge 
legen sind, dass je ein Hauptschnitt mit der xz-Ebene Zusam 
menfalle, konnte von vorneherein abgeleitet werden. Weniger 
offen liegen die Folgerungen folgender Betrachtungen, deretwegen 
wir gerade jene Gleichung aufgesucht haben. 
Man drehe das Coordinaten - System um die y- Axe, bis die 
x-Axq durch einen singulären Punkt (V, 0, z') geht. Für den 
Winkel a, um den man drehen muss, hat man: 
x‘ . ?/' 
cos. a = ~, sm. a — ,2 —. 
b b 
Die ursprünglichen x - und z - Coordinaten drücken sich folg 
lich in den neuen x und z bezüglich aus durch: 
XX / ZZ / , X Z / —1— ZX J 
nnri ! 
Die Gleichung des zu (x', 0, z r ) gehörigen Supplements-Ke 
gels in Bezug auf das gedrehte Coordinaten-System wird daher: 
a 2 x‘ 2 (xz 1 -f- zx 1 ) 2 -j- a 2 b 2 c 2 y 2 -j- c 2 z' 2 (xx‘ — zz 1 ') 2 
— (a 2 -j- c 2 ) x‘z‘ (xx‘ — zz 1 ') (xz' -j- zx') — 0, 
und für seinen Durchschnitt mit der yz-Ebene kommt: 
z 2 (x‘ 2 -f z /2 ) (a 2 x‘ 2 -j- c 2 z' 2 ) -j- ci 2 b 2 c 2 y 2 — 0. 
Weil man aber für den singulären Punkt als den Durch 
schnitt des Kreises und der Ellipse, welche den Hauptschnitt xz 
ausmachen, 
x‘ 2 -f- z /2 = b 2 und a 2 x' 2 -}- c 2 z' 2 — a 2 c 1 
hat, so geht die letzt gefundene Gleichung über in: 
z 2 y 2 = 0, 
und sie sagt aus, dass die zy-Ebene ein Kreisschnitt des Kegels 
ist. Die neue zy-Ebene steht aber auf der im singulären Punkte 
auslaufenden, secundären optischen Axe senkrecht, und diese ist 
eine der Kegelseiten, die im Hauptschnitte xz liegen. Senkrecht 
auf der zweiten Seite steht daher auch die zweite Ebene der