Erster Abschnitt. Grundlagen der Integral-Rechnung. 
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S i mit fort- 
n 
(12) S — S x = ' S ^( x zk — x ^k-%) 6 k- 
1 
hen, endlich 
Ersetzt man die verschiedenen <3 k durch das größte unter 
ihnen, das <5 heißen möge, so wird die Summe rechts ver 
größert; mithin ist 
n 
und S' mit 
immenhange 
S S x <C g ip^ik X 2ü:—2) = (p a)<5. 
1 
Da nun die Funktion fix) als stetig vorausgesetzt wurde, 
so nehmen die Schwankungen mit fortgesetzter Teilung be 
weiten Teile 
ständig ab und werden schließlich kleiner als eine beliebig 
klein festgesetzte Zahl; denn die Annahme, die Schwankung 
sinke, wie klein auch das Intervall werde, unter einen fest 
.endlich fort- 
mte Grenze, 
in nur sämt- 
gesetzten Betrag nicht herab, stünde mit dem Wesen der 
Stetigkeit im Widerspruch (17, 2)). Es wird also bei fort 
schreitender Teilung auch die größte unter den Schwankungen, 
6, kleiner als eine beliebig kleine Zahl, daher ist in aller 
enen Eigen- 
äitender Tei- 
> alle S', die 
so besitzt 
imliche läßt 
Strenge 
(13) lim S x = lim 8'. 
7) Die Summe S hat hei unaufhörlich fortschreitender 
Teilung, hei ivelcher die Teilintervalle sämtlich der Null sich 
nähern, einen bestimmten Grenzwert. 
ind einander 
Denn die Summe S ist beständig zwischen den Summen 
und 8' eingeschlossen derart, daß sie größer ist als alle 
S x und kleiner als alle 8'; und da die 8 t und die 8' gegen 
i zweier auf 
eine gemeinsame Grenze konvergieren, so ist diese auch der 
Grenzwert von 8, d. h. es ist 
• i); 
(14) lim 8 = lim S x = lim 8'. 
Hiermit ist der Beweis des an die Spitze dieses Artikels 
a Werte der 
iemann die 
leichnet man 
gestellten Satzes vollendet. 
219. Auf diesen Satz gründet sich nun die folgende 
Definition: 
Der Grenztvert, welchem die mit der stetigen Funktion f(x) 
gebildete Summe