Nebengesammtheiten von Verstorbenen. 
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natenebene YOZ (icli werde der Einfachheit wegen im Weitern 
einen solchen Schnitt einen »Verticalschnitt erster Art« nennen) 
und lege ich ferner durch den Punkt E eine Verticalebene, die die 
Coordinatenebene XOZ unter 45 0 schneidet (der Schnitt heisse von 
nun an kurz ein »Verticalschnitt zweiter Art«), so erhalte ich die 
beiden Schnittflächen B x M x M 2 B 2 und Cj N x N 2 C 2 , die, wenn sie auf 
die Coordinatenebene YOZ projicirt werden, nach unsern bekannten 
Sätzen Folgendes ergeben: Die Projection A X N‘ X N' 2 A 2 giebt die 
Gesammtzahl Derjenigen, die am Zählungstermine t x am Leben 
sind, sie stehen zwischen den Altersgrenzen A 2 C 2 = r — t 2 bis 
A X C X — x — t x ; die Projection A x M\ M‘ 2 A 2 giebt dagegen die An 
zahl der Personen aus der gleichen Generation, welche das Alter 
von x 2 Jahren erreichen, es geschieht dies innerhalb des Zeitraumes 
t x H - x > bis t 2 -f- x 2 . Die Differenz der beiden Flächenprojectionen, 
also die Fläche M‘ x N‘ x N‘ 2 M‘ 2 (in Fig. 7 vertical schraffirt), ergiebt 
nun ohne Weiteres die gesuchte Gesammtheit der Verstorbenen, d. h. 
die Zahl Derjenigen, die vom Zählungstermine r x abgerechnet, aus 
der Geburtenstrecke A x A 2 gestorben sind, bevor sie das Alter von 
x 2 Jahren erreichten. Analytisch ausgedrückt ist diese Gesammtheit 
[A [A 
\ fi&i ~ *)> 0 dt — \ f(® 2 , t) dt (16) 
Beispiel: t x = 1840, t 2 — 1850, r x — 1860; x 2 = 15. 
Hier giebt die Figur und vorstehender Ausdruck die Zahl Der 
jenigen aus der Geburtenstrecke vom 1. Januar 1840 bis 1. Januar 
1850, welche nach dem 1. Januar 1860 starben, bevor sie das 
Alter von 15 Jahren erreichten. 
Als ein Spezialfall ist derjenige zu betrachten, wo die beiden 
Punkte Cj und B x zusammenfallen, was eintritt, wenn A x B x = A x C x 
oder x 2 = r x — t x ist. Es könnte aber offenbar auch A x B x <j 
A x Cj, d. h. x 2 <j Tj — t x sein; dann ist im vorstehenden Ausdrucke 
für die untere Grenze t x der beiden Integrale r x — x 2 zu substi- 
tuiren und die Figur leicht unter dieser Voraussetzung zu ergänzen. 
In dem andern Falle b, in welchem neben den Grenzen t x 
und t 2 der Geburtenstrecke das Alter x x und die Zählungszeit r 2 
gegeben ist und die Verstorbenen gesucht werden, die aus dieser 
Generation vor dem Zählungstermine t 2 starben, nachdem sie 
das Alter x x überschritten hatten, gibt Fig. 8 a. f. S.