VINGT-HUITIÈME LEÇON.
O
SUITE : CONDUCTIBILITÉS PRINCIPALES d’üNE PLAQUE ; ÉQUATION
DU PROBLÈME DANS LE CAS d’uNE SEULE DIMENSION NOTABLE.
20o. Direction et grandeur des conductibilités principales de la
plaque. — L’équation indéfinie (16) du problème posé a donc,
dans le cas d’une plaque, la même forme (i) (p. 65) que dans celui
d’un corps massif, à cela près que x,y, z, u, a, b, csont maintenant
remplacés par X, Y, U, A, B, et que la fonction <p, donnée par(i4),
est tout autre. Mais il reste à déterminer les directions OX, OY et
les coefficients A, B, c’est-à-dire les sens et les grandeurs des deux
conductibilités principales A-, B' 2 de la plaque, lorsqu’on donne
l’orientation de celle-ci par rapport à l’ellipsoïde principal (2)
(p. 66) du corps massif d’où la plaque a été extraite.
Nous connaissons, il est vrai, une ellipse avant précisément ses
demi-axes A, B orientés suivant les deux conductibilités cherchées
et égaux aux racines carrées de leurs grandeurs : c’est l’intersection,
parle feuillet mojen de la plaque, du cylindre circonscrit à l’ellip
soïde principal, avec génératrices isothermes quand les courants
de chaleur sont parallèles au feuillet mojen. Mais un tel cylindre
est essentiellement changeant avec la direction de la plaque; et
il y a lieu de construire, à sa place, un ellipsoïde de forme et
d’orientation invariables, capable, s’il est possible, de con
tenir cette ellipse représentative des conductibilités A 2 , B 2 de la
plaque.
A cet effet, soient X, p, v les trois cosinus directeurs de la nor
male à la plaque, par rapport aux axes des x, y, s, qui sont ceux
de l’ellipsoïde principal (2); et, pour fixer les idées, supposons
cette normale menée du côté qui fait un angle aigu avec Y axe
d'asymétrie MG du corps (_fig. 13, t. I, p. 14*) dont les cosinus