ÉTABLISSEMENT DE L'ÉQUATION INDÉFINIE. 87
mouvoir la chaleur suivant les X, ou pour qu’aucun flux n’y tra
verse la surface latérale. Cela aura lieu par l’égalisation des tem
pératures dans la fibre sur toute l’étendue de chaque plan apparte
nant à la famille de plans parallèles qui seraient isothermes pour
des courants dirigés suivant les X. Si nous menons alors à l’ellip
soïde principal les deux plans tangents de la même famille, et que
A désigne la distance, à l’origine O, du point où l’axe des X perce
l’un d’eux, A et X seront ici ce que nous appelions A' et X'
dans le n° 200 (p. 69), où nous considérions aussi un mode de
distribution des températures par plans parallèles à deux plans tan
gents donnés x ] = dz a! de l’ellipsoïde principal. Et la somme des
flux de conductibilité, pénétrant par unité de temps dans l’unité
de volume de la fibre do- ¿/X, sera, comme on a vu au même en
droit, h!-» c’est-à-dire A- •
a A. - ttÂ-
Or cette somme, qui est ainsi, pour la fibre, A 2 -^y- d<7 ¿/X par
unité de temps, se trouve réduite à celle des flux entrant effecti
vement à travers les deux bases, par la manière même dont on a
modifié les variations de u avec Y et Z, qui annule tout flux sur la
surface latérale. Et si l’on ajoute les résultats relatifs aux diverses
fibres d’un tronçon, il vient, pour la chaleur totale fournie dans
l’unité de temps au tronçon par ses deux voisins, l’expression
C dï u ,
(33) A 2 dX J
Appelons U, fonction déterminée des deux variables seules t
et X, la valeur moyenne de u sur la section faite, dans la barre,
parallèlement aux bases du tronçon et par le point de l’axe des X
(ou axe de la barre) dont l’abscisse est X. Posons, en d’autres
termes,
(34) U= f u—,
J-a a
formule où il est ainsi entendu que, sur la fibre longitudinale de
section droite di et définie par deux valeurs données Y, Z des
coordonnées transversales, l’abscisse excède, dans l’expression
de a, d’une quantité constante (fonction linéaire de Y et Z),
l’abscisse X de l’axe. Il est clair qu’on aura, sous la même réserve
