94 PROBLÈME DE LA DISSÉMINATION DE LA CHALEUR, 
satisfait bien à (49)5 ou a sa dérivée en t égale à sa dérivée seconde 
en £; et la dernière forme (5i) de U, déduite de la précédente 
en posant a = £ 4- 210 y/r, montre immédiatement que les deux 
conditions adjointes (5o) sont également satisfaites, les valeurs 
données de u 0 (E) s’annulant, par hypothèse, aux deux limites 
\ — ± 00. 
Or on passe facilement du cas d’une seule coordonnée, au 
cas d’un nombre quelconque, £,7), . . en remarquant d’abord 
que, si l’état initial donné, u n (£, r n .égale le produit 
de fonctions dépendant, chacune, d’une seule coordonnée, la fonc 
tion U égalera aussi le produit des solutions, F(-, £), (t,t,), ..., 
qui correspondraient aux états initiaux exprimés par fil;), ¿(tj), .... 
En effet, les fonctions F, W, ... ayant alors, d’après (49), leur dé- 
, , , c/ 2 F VF , , . 
rivee en t égalé respectivement a " ’’ 1111 le * produit 
U = F*F. . . donnera 
1 d\J _ 1 r/F t c/ * l F 1 c/ 2 F 1 r/s *F 
Ü ~dx ~ F c/r 'F ~dz = p ^2 ^ “ i “- ■ • 
i dK FiF... 1 d'-dF... F 
“ F l F.. r/ï 2 VF..7F dr* r " ' 
1 / f 2 l : „ d l U 
“ U \ dÿ dV 4 ""7’ 
c’est-à-dire l’équation (4g) elle-même. Et, d’ailleurs, les conditions 
adjointes (5o) seront satisfaites identiquement ( 1 ). 
Cela étant, prenons la fonction u 0 (^, 7], . ..), d’une part, 
(') On remarquera qu’elles le seraient encore si, le corps étant non plus in 
défini, mais rectangulaire (limité par des plans parallèles aux plans coordonnés), 
et en rapport, à sa surface, avec une atmosphère à la température zéro, la pre 
mière condition (5o) se trouvait remplacée par une autre, qui, à cette surface, 
c’est-à-dire pour deux valeurs constantes ou de £, ou de r h ..., assujettirait la 
dérivée correspondante 
d U 
...) 
(suivant une normale d\, ou c/rp ...) à avoir 
un rapport constant donné avec la température même U. Car un tel rapport 
1 c/U , 
Fr ' / ?• r ny serait autre, vu la possibilité cry supprimer haut et bas les 
u a ( ç, ■/), .. • ) 
facteurs indépendants ou de ou de r,, 
que 
c/F 
dW 
F d\ W dt\ 
fractions 
alors égales, par hypothèse, aux valeurs voulues. 
C’est, du rpste, ce qu’on avait déjà observé en étudiant les refroidissements du 
cube et du parallélépipède ( t. I, p. 279, 283, 284).