A UNE, DEUX OU TROIS DIMENSIONS. 105
liquement,
Appelons, pour abréger, t, la variable —de la fonction F, et
effectuons, sous le signe j', la différentiation en t qui s’y trouve
indiquée : la formule (72) se réduit alors à
Or la fonction F, d’après la manière même, (68), dont on l’a
formée, a sa dérivée en t égale à la somme de ses dérivées secondes
directes en £, 7), .... Ainsi, l’équation indéfinie (44) du problème
est bien satisfaite.
On reconnaît, d’ailleurs, immédiatement que F et u s’annulent,
comme S, aux distances \J%- + o\- 4- ... de l’origine infinies, et
aussi quand le temps t décroît vers — 00. Donc les deux conditions
soit aux limites, soit d’état initial, sont également vérifiées. Et la
formule (70), où la fonction F est définie par (68), constitue bien
l’intégrale générale cherchée du problème de réchauffement du
corps.
221. Parité de réchauffement d’un corps isotrope, dans toutes
les directions autour d’une source élémentaire. — L’expression
générale(70) de la température, dans le problème de réchauffement
de notre corps rendu isotrope, se compose donc d’une multiple
infinité de termes simples, dont chacun, vu d’ailleurs les formules
(68), (54), (63) et (46 bis), exprimerait ces températures si les
sources avaient été réduites à une seule, occupant entre les limites
£ = a, 71 = ¡3, ... et £ = a + do., = [3 -f- ¿/¡3, ... l’élément do. <ij3...
de l’espace, et qui n’aurait fourni son débit effectif de chaleur que
durant un élément unique d§ du temps, savoir, de l’instant t — 6
à l’instant t = Q -f- d9. Or, d’après la formule la plus réduite (5a)
des termes simples (p. 96), où il n’est fait abstraction que du fac-