RÉDUCTION, EN SÉRIES, DE L’INTÉGRALE DU PROBLÈME. 121 
et la relation (go) donnera tz-c, = Q, ou c K = — L’expres 
sion de la température permanente u sera donc, d’après (85) 
et (90), 
(97) (pour une plaque) l 
r'({) tsin*a\ . . , 
—f lo"- coh (x. cosa) da, 
r(t) b , 2 I 
V — [JL r 
— [J. \/ç 2 -+- Y, 2 . 
232. Développement en série de l’intégrale obtenue. — Le 
calcul de cette expression (97) et, plus généralement, de l’inté 
grale (85) de l’équation différentielle (84) peut se faire, en les 
développant en séries, toujours convergentes, suivant les puis 
sances entières et positives de t, à part le facteur logt que contient 
en plus, dans tous ses termes, l’une des séries. 
A cet effet, on remplacera le cosinus hyperbolique, figurant 
dans (85) ou dans (97), par la somme 
r 2 cos 2 a n^cos^a v 6 cos 6 a 
1.2 1.2.3.4 1.2.3.4.5.G 
et, d’une part, on observera, dans le produit développé et intégré 
de cette série par c + c 1 (logt -f- 2 log sina), que 
(99) 
/ 
0 
cos 2 « a r/a 
2 2 4 
111 — 1 
2 n 
d’autre part, on effectuera comme il suit le calcul des intégrales 
définies, également introduites par le développement, 
(100) 
— OC = - 
l n — / cos 2 «a log sin a c/a -- / cos 2 « -1 a d(sina log sina — sina). 
'A '-a=o 
L’intégration par parties y donne, vu l’annulation, aux limites, 
du terme intégré, et vu aussi que sin-a= 1 — cos 2 a, 
71 
[=(2 n— 1) / (cos 2 "- 2 a — cos în a)(log sina - 1) c/a 
«'0 
— (2/7. — 1) I„_,— (2/1 — 1 ) 1 «—(2/1—-1) y f cos 2 "~ 2 a o/a — f cos 2 «a a/a