DANS UN FLUIDE ET DANS UN COUPS QUELCONQUE. l5l 
253. Expression de ce travail dis pour une particule fluide. — 
Dans le même cas simple d’un fluide à l’étalélaslique, le travaillé 
s’évalue aisément. La pression normale et uniforme p, à y consi 
dérer, donne la force p d? sur chaque élément matériel dn de 
et 
(a' 7 ) J (T, y y — L-) cosada+ (T x y — N^.-s) cos p dz -+- j [N z y— T K .z) cosy dz. 
Transformons, clans ces expressions, les intégrales de surface en intégrales de 
volume, par la formule générale que nous avons eu plusieurs fois l’occasion 
d’appliquer et qui, si cp désigne une fonction continue quelconque de x, y, 
est 
,4) fjf 
Il faudra faire successivement, dans les divers termes de (a') et (a"), 
cp = i, cp = T' s y — T _z, cp = T x y — IN y ~, © = N.y — T r .s. 
11 viendra bien, identiquement, pour (a'), zéro et, pour (a"), T c ra— T^ra, c'est- 
à-dire encore zéro. 
Un procédé analogue permet de former simplement, pour une particule ou 
même pour un volume m quelconque, l’expression générale du travail dis. 
Soient u, v, w les composantes, fonctions continues en x, y, z, de la vitesse 
actuelle du mouvement visible. Les déplacements, suivant les axes, durant un 
instant dt. de l’élément quelconque dz de surface, seront u dt, v dt, w dt; et l’on 
aura, pour le travail des trois composantes p x dz, p y dz, p,dz de la pression qu il 
supporte, dt(p x u y- p y v + j) z w) dz. Le travail total dis sera donc 
( b') dt / (/),«+ p v -t- p.w) dz, 
J (7 
ou bien, par la substitution à p x , p.,, p. de leurs expressions (oc), 
( dt { (N r M-r T. v -+- T y w ) cos a dz 
„ s 1 du 
(b") 
I dt ( (Tj.w-r-iNj.E-+-T B tv) cosjâ dz-hdt j (T v m4-T x e-;-N î w)cosydz. 
d a ' d (y 
Transformons, par la formule (b), les intégrales de surface en intégrales de 
volume, sans oublier que les N, T sont ici rendus constants; et nous aurons 
(b'") 
a 
„ ( dv dw\ !dw du \ ( 
+ T - [di + dÿ) +T ’{dH + rp + T - ( 
, , i du _ T dv dw 
dis = dt I 1 N, -, hN - -+- N. 
dx •> dy ■ dz 
du dv 
v dy dx 
drz. 
S’il s’agit d'une simple particule, les dérivées continues de w, v, w auront très 
sensiblement môme valeur dans tout son intérieur, et la formule cherchée sera