DÉMONSTRATION ANALYTIQUE DE LA FORMULE FONDAMENTALE. 153 
pelit chemin (positif ou négatif) du, et en décrivant ainsi un 
prisme élémentaire généralement oblicpie, à base dy. Le travail 
correspondant est donc-—p d'y dn, produit où d<r dn exprime 
justement le petit espace prismatique envahi par l’élément dy de 
surface. Dès lors, le travail total d<s> sera la somme —p'Zdydn, 
ou le produit de —p par l’accroissement total, positif ou négatif, 
qu’aura gagné sur l'espace extérieur le volume to de la particule 
fluide considérée. Et l’on aura 
(■>•) 
¿¿S — — p dus (pour une particule fluide). 
des trois composantes Xp dus, Yp dus, Zp dus du poids de chaque élément p dus de 
masse compris dans le volume matériel us, composantes que nous appellerons X, 
Y, Z par unité de masse, il viendra la somme 
(d') 
dt 
d\. 
dx 
clT z 
dy * d 
dus: 
et les trois équations, bien connues, du mouvement visible des milieux matériels, 
fournies par l’application du principe des quantités de mouvement, suivant les 
trois axes, à chaque particule p dus, permettront de la remplacer par la somme 
{d') 
dt 
rp ( au' H- vv' -+- (vw' ) dus, 
où u', v', w' désignent les trois accélérations du mouvement visible, c’est-à-dire la 
dérivée en t des trois vitesses u, c, w de la particule. Or cette somme n’est, 
évidemment, autre chose que l’accroissement élémentaire de la demi-force vive 
r 
dus 
( u- 
n’ 2 ) 
du volume matériel us dans son mouvement visible, c’est-à-dire, précisément, le 
terme qui, avec M dU, constitue le premier membre de l’équation des forces 
vives. 
Ainsi l’analyse fournit d’une manière très naturelle la réduction qui, effectuée 
intuitivement, nous a permis d’éliminer du premier membre de l’équation des 
forces vives l’énergie actuelle du mouvement visible, en bornant le second 
membre au travail des pressions uniformisées et aux flux de chaleur.