l66 ESSAI SUR LES DILATATIONS THERMIQUES ET SUR LES AUTRES 
On pourrait, il est -vrai, se dispenser de joindre la troisième 
hypothèse aux deux premières. Car celles-ci donnent (p. 161 
et 162), pour l’expression cl\J formée ci température 9 constante, 
une valeur ~, où 9 ne figure pas et qui est dès lors la différen 
tielle totale exacte d’une certaine fonction <E> des déformations è, g 
seules; d’où il suit bien que la différence U —<ï> a sa différentielle 
en è, 3 nulle quel que soit 9 et se réduit à une simple fonction T' 
de 9, ou que la troisième hypothèse, U = <ï> + W, résulte des deux 
premières. Toutefois, il convenait de la formuler et même de la 
signaler spécialemen t ; car elle paraît subsister, du moins conve 
nablement entendue, à un degré d’approximation plus élevé que 
les deux premières, comme on verra (p. 171) vers la fin de la 
Note par laquelle je vais compléter le présent aperçu ('). 
lignes ds x , ds y , cls_ de la particule, que supporte l’unité d’aire primitive des 
trois éléments plans, matériels aussi, contenant chacun deux de ces éléments 
rectilignes, composantes qui sont évidemment, dans le cas le plus général, des 
fonctions déterminées des è, g et de 0. 
Enfin, M d<ï> s’écrit encore pra d<P, ou d{pé?)vs, produit où la densité actuelle p 
est censée remplacée par la densité invariable, très peu différente, de la particule 
à l’état naturel et à température 0 nulle. 
Cela donne, pour l’unité du volume actuel gt, une variation cZ.pff», d’énergie 
élastique, où pff> est, ici, fonction seulement des è, g; et, de son égalité à (e'), 
telle qu’elle est établie dans le texte, il résulte 
N x dd.+ N CÙ -t-...+ T.dg, = d.p«J>= d3 x + -^4^ d\+.. .+ 
dv T dû J 
c’est-à-dire, vu l’indépendance mutuelle des différentielles dù x . ef? , . 
d. p<h 
cL h 
d U 
d. p<I> 
~dd7’ 
», cl.pé? 
y ~ ~dÇ’ 
d\ 
d.pcp 
T d -p<f* 
“h ’ 
T d .pd> 
a d $z 
On voit bien que les pressions N, T delà particule, dérivées partielles premières, 
relatives aux déformations correspondantes è, g, du potentiel d'élasticité pd> 
supposé ici indépendant de la température, n’en dépendent pas davantage. 
(') Petites dilatations thermiques d’un solide; son potentiel d’élasti 
cité et son énergie interne à une deuxième approximation. — Cette 
première approximation du texte est évidemment une simple synthèse, sans 
pénétration réciproque, de la théorie de l’élasticité, telle qu’on l’a considérée en 
général jusqu’ici, et de la théorie analytique de la chaleur, réduite à l’ordre de 
phénomènes que Fourier soumettait à son analyse. Et elle s’applique dans la 
limite des variations soit de forme, soit de température, que supposent les expé-