PHÉNOMÈNES THERMOMÉCANIQUES, DANS LES SOLIDES. 
260. Problèmes les plus simples de convection calorifique. — 
Puisque la chaleur se propage, du moins à une première approxi- 
x’iences confirmatrices de ces théories respectives, ainsi dérivées d’une même 
doctrine. Mais il faut pousser plus loin les calculs, si l’on veut atteindre le 
phénomène de la dilatation des solides par la chaleur. 
Abordons-en l’étude en généralisant, pour l’étendre aux variations modérées 6 
de la température, le principe expérimental, formulé vers 1678 par Robert Hooke 
(ut extensio sic vis), de la proportionnalité des forces élastiques aux extensions 
ou déformations qui les provoquent. Ainsi, nous supposerons linéaires non seu 
lement par rapport aux 3, a, mais aussi par rapport à 0, les six forces N, T dont 
il a été parlé dans la note précédente ( p. i65), mais qui seront produites main 
tenant, à l’intérieur ou sur les faces de la particule m, par réchauffement. 0 con 
curremment avec les déformations 3, g, à partir cle l’état naturel relatif à la 
température spéciale 0 = 0. Il est donc entendu que, pour n’avoir pas à ajouter 
aux 3, g définis plus haut ( p. r46) les petites déformations spéciales, fonctions 
de 0, dues au changement de l’état naturel entre la température prise comme 
origine et la température actuelle, nous appelons 3, 0 les déformations totales 
mêmes, en partie thermiques et en partie élastiques, éprouvées par la particule 
depuis l’état naturel correspondant à la température origine, tandis que, jusqu’ici, 
3, 0 désignaient leurs parties purement élastiques, ou comptées seulement depuis 
l’état naturel relatif à la température effective 0. 
Et nous aurons six formules de la forme 
( (N æ , N y , N z , T Æ , T,, T t ) = des fonctions linéaires homogènes 
i de 0, 3 X , \, 3„ 0 X , 0 T , 0 Z . 
Les coefficients d’élasticité dans ces formules, ou coefficients des 3,0, ne 
dépendront pas de 0; car leurs petites variations dues aux élévations modérées 0 
de la température n’ajouteraient, une fois multipliées par les 3, 0, que des termes 
du second ordre. 
Il ne s'adjoindra donc, aux formules ordinaires des N, T, que les termes sim 
plement proportionnels à 0, et que nous écrirons, respectivement, — v x 0, — v y 0, 
— v„0, —x r 0, — t 0, — t s 0 dans N x , N y , N., T x , T y , T.. Rien n’obligeant à modi 
fier les résultats de première approximation en ce qui concerne les autres termes, 
relatifs à la température fixe 0 = 0, admettons provisoirement, pour plus de sim 
plicité et sauf à reconnaîti’e bientôt l’exactitude de notre hypothèse, que l’en 
semble de ces autres termes continuera à être les dérivées premières d’une fonc 
tion p<î> des 3, 0 seuls, laquelle sera évidemment une fonction homogène et 
entière du second degré. Et si nous posons, pour abréger, 
(*) p<t»' =— 0(V X 3 X + V y 3 y +V,3 8 -f-X x 0 x + T 3 .0 y + T,0 S ) Hh p<b, 
les nouvelles expressions des forces N, T seront encore les dérivées respectives, 
par rapport aux 3, 0, d’un potentiel, savoir, de la fonction p<b' des 3, 0, 0; en 
sorte que, d’une part, l’on aura 
(O 
N, = 
d. pd>' 
dô x ' 
d. p<I>' 
d3„ 
_ d.pd>' 
” ~dg7’ 
et, d’autre part, vu la formule (é) de dis, en 
rapportant le travail de déforma-