ET ÉQUATIONS DES PHÉNOMÈNES THERMOMÉCANIQUES, DANS LES SOLIDES. 169 
ses températures. Mais il n’en est pas de même du problème ana 
logue relatif aux fluides, chez lesquels des déplacements notables 
deux, l’un, en è 2 + è 3 ) 2 , l’autre, en èf+ Il viendra donc, en 
appelant^, p. (notations de Lamé) deux certains coefficients d’élasticité, indé 
pendants, comme v, de la direction des t)„ è 2 , è 3 à raison de l’isotropie de la 
matière dans son état naturel primitif, 
p<I>' = — v0(è,-f- è 3 ) -+- ^ (è t + è,-+- è 3 ) 2 + p(èf + | ). 
Soit pd>j sa valeur (proportionnelle à 6 2 ) dans l’état naturel actuel, où 
è i = è 2 =è 3 — 1)0; et, d’après (¿"), la différence p‘t>’— p4>^, qu’on peut appeler 
potentiel cVélasticité, exprimera le travail total Çdts de déformation d’une par 
ticule par unité de son volume, à température 0 constante et à partir de l’état 
naturel correspondant. 
Le potentiel pd»’ sera la somme analogue /"■ mais comptée à partir de è, 
g nuis, c’est-à-dire depuis la figure de l’état naturel primitif. Ainsi, ce poten 
tiel pd>’ est, dans chaque particule, une fonction déterminée de l’état physique 
actuel, entièrement indépendante des axes coordonnés choisis; et, d’autre part, si 
l’on revient des directions de è,, è 2 , è 3 aux x, y, z primitifs, la théorie géné 
rale des 'petites déformations donne, entre è,, è 2 , è 3 et è,., o y , ~ù z , g x , g y , g^, trois 
relations, dont les deux plus simples sont 
aj+ 2)5+31 = a- 
X2 
° y 
fl x 
il y 
9 z 
L’expression générale du potentiel p<E>' dans une matière isotrope sera donc, 
avec trois coefficients v, p. caractéristiques de cette matière, 
(/) pd>' = — v0(è x +è + 3 r ) +^(3*- 
■ t' 
ai+31+32 
On en déduira, grâce aux formules (¿'), les expressions des forces en partie 
thermiques et en partie élastiques N, T, et, par suite, comme dans la théorie 
classique de l’élasticité, les équations du mouvement visible. 
En général, que la contexture soit, ou non, isotrope, la première approxima 
tion, exposée dans le texte, aura fait connaître suffisamment les températures 
successives 0. Dès lors, les parties des pressions où figure 0 reviendront à des 
forces fonctions explicites de x, y, z, t. Donc le problème du mouvement visible 
produit ou modifié par réchauffement se traitera à la manière d’un problème 
d’élasticité, dans lequel s’adjoindraient, à la pesanteur et aux pressions, certaines 
actions extérieures, données en fonction du temps et des coordonnées primitives. 
Vu la forme linéaire des équations, la solution se composera d’une intégrale 
particulière, accrue de l’intégrale générale qu’on aurait sans ces actions exté 
rieures. C’est dire que les vibrations produites par réchauffement se superposeront 
simplement aux vibrations élastiques ordinaires. 
Nous avons regardé comme valable la forme des termes en 3, g des N, T fournie 
par la première hypothèse approchée du texte ( p. 161 et 166), c’est-à-dire l’existence