DES VIBRATIONS LONGITUDINALES ÉVANESCENTES.
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Ce sont précisément les conditions de continuité auxquelles
Cauchy avait fini par s’arrêter, probablement comme étant les plus
simples, mais sans avoir pu, comme nous, les ramener aux relations
définies ordinaires delà Mécanique physique ( 1 ). Elles expriment,
on le voit, qu’iY y a un contact du premier ordre entre les déplace
ments £, y), Ç, considérés de part et d’autre de la surface.
Dans le cas de vibrations normales au plan d’incidence, où 7), Sjj,
*/]j s’annulent, ces relations se réduisent à £ = , comme
dev dx
les précédentes (90); et il n’y a rien à changer à la solution donnée
plus haut. Mais, dans le cas de vibrations parallèles au plan d’inci
dence, où Ç = o, = o, et où les conditions (90 ) étaient
(i43)
d\ dr { d^x dr¡x
r ‘ ^ 1 ’ dy dx dy dx ’
on voit que les nouvelles relations (i4 2 )> tout en obligeant à vérifier
celles-là (143), donnent, de plus,
044)
d\ _ d\x
dx dx
C’est l’adjonction de ces dernières, ou du moins de la première
d’entre elles, que rend possible l’adjonction même des termes (189),
(i4o), ou (139 bis) et (i/jo bis), dans %, t], 7]j.
43. Leur vérification. — Observons que les termes ( 13q), (1/40)
correspondent à des rotations moyennes nulles, par le fait même
qu’ils représentent des mouvements longitudinaux, où £, r\, Ç, pro
portionnels aux coefficients de x, y, z dans l’exponentielle de la solu
tion symbolique, sont les dérivées en x, y, z d’une même fonction.
En effet, annuler les rotations moyennes, c’est justement exprimer
l’intégrabilité de la somme \ dx H- rj dy + Ç dz. Donc, quels que
soient R et R t , les termes (i3g) et (i4°) ne donnent rien dans la
seconde relation (i43). Or, on voit, sur la forme approchée (i3g bis)
et (i4o bis) des mêmes termes, qu’ils ne donnent non plus rien, qui
soit, en général, perceptible, dans la première relation ( 143). Ainsi,
les formules (io4) et (io5) (p. 353) de tq, et 7)j devront très sensi
blement, telles qu’elles sont, ou sans les termes (i3g) et (i4o), satis
faire aux conditions de raccordement (i43), c’est-à-dire (90).
( x ) Car il attribuait à l’éther des coefficients d’élasticité différents dans les
divers milieux.
