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RAMENÉS A DES REFROIDISSEMENTS OU ÉCIIAUFFEMENTS PAR CONTACT. 5 
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163. Premier exemple : refroidissement, par rayonnement, d’un 
mur d’épaisseur indéfinie; calcul de la fonction auxiliaire cp. — 
Soit d’abord un mur ayant pour face, indéfinie en longueur et 
largeur, le plan des yz, et s’étendant sous une épaisseur ou pro 
fondeur très grande, du côté des x positifs, avec ses tempéra 
tures u fonction seulement du temps t et de la distance x à la 
surface libre. On donne, à l’époque t =■ o, ses températures 
u=/\x)] et celles-ci sont supposées avoir sensiblement, pour x 
assez grand, une valeur u 0 constante, que l’on pourra regarder 
comme se conservant, à ces grandes profondeurs x : durant un 
temps illimité. Dès que t excède zéro, les espaces situés du côté 
des x négatifs sont censés tenus constamment à la tempéra 
ture u e —-o; et la surface x = o du mur rayonne désormais 
vers ces espaces, par unité d’aire, un flux K^ égal à k(u—u e ), 
ou à ku. On a donc ici u e — u — j ^ = o ; et il y a lieu de 
poser 
(4) 
cp = u —- 
i du 
h dx 
Cette fonction co vérifie évidemment, comme u : i° la première 
d2 
équation indéfinie (2), où A 2 se réduit à ; et 2 0 la condition 
définie co = u 0 pour x très grand (là où u ne varie plus sensible 
ment avec x et où, par suite, cp se confond avec u). Mais, de plus, 
elle satisfait à la relation spéciale cp = o (pour x — o), qui est celle 
que vérifierait u à la surface si le refroidissement avait lieu par 
contact. Donc, le seul caractère qui distingue co, de ce que serait u 
dans ce cas du refroidissement par contact, consiste en ce que 
l’état initial y est, d’après (4), cp =/(#)—j t f { x )i et non 
co = /(x). Par conséquent, cp prend l’expression qu’aurait w, dans 
un refroidissement par conlactoùles valeurs initiales de la tempé 
rature seraient celles de la fonction 
(5) 
F <» =/<» — ¿/'O)- 
trois se rap- 
deux, à des 
Formons u pour un tel cas. La condition u — o sur la face x — o 
se trouvera vérifiée d’elle-même, si l’on imagine un massif occu 
pant tout l’espace, par l’adjonction idéale, au mur proposé, de son