DIRECTION DES VIBRATIONS DANS CET ELLIPSOÏDE. 4^1 
On peut, dès à présent, reconnaître sans calcul que, dans le plan 
d’onde diamétral donné, les deux vibrations possibles feront, chacune 
avec l’axe de l’ellipse qui en sera le plus voisin pour la direction, deux 
angles sensiblement égaux. Car la forme de l’équation (172), où U, Y, 
W, P sont définis par ( 165 ), et qui est ainsi homogène en /, m, n, 
montre que, pour les rapports mutuels de l, m, n, P correspondant au 
plan d’onde donné, le terme du premier degré, seul, contient P, dans 
l’équation du second degré en — • Donc le produit des deux ra 
cines ~ 5 ~ est indépendant de P, c’est-à-dire des coefficients d’asy- 
métrie d, e, f; et ce produit garde sa valeur relative au cas où, d, e, f 
s’évanouissant, les racines sont précisément les carrés des demi-axes 
de l’ellipse. Ainsi, les carrés des deux rayons suivant lesquels se font 
les vibrations ont pour produit le produit même des carrés des demi- 
axes; ou, encore, les carrés des inverses de ces rayons ont même 
moyenne proportionnelle que les carrés des inverses des demi-axes. 
Mais nos ellipses étant, par hypothèse, de faible excentricité, cette 
moyenne géométrique ne diffère pas sensiblement de la moyenne 
arithmétique correspondante; et l’on peut dire que les carrés des 
inverses des demi-diamètres considérés ont même somme que les 
carrés des inverses des demi-axes. Or on sait que, dans une ellipse, 
ce sont les demi-diamètres également inclinés sur les deux axes res 
pectifs qui jouissent de cette propriété. 
A chaque racine de l’équation (172) il correspondra, de part et 
d’autre de l’axe voisin, deux diamètres différents de l’ellipse, quoique 
un seul des deux satisfasse aux proportions (173) ou donne la direc 
tion cherchée de la vibration. La raison de cette ambiguïté est dans le 
fait que l’équation (172) en o> contient d, e, f (dans P 2 ) au second 
degré : ainsi les vitesses de propagation sont communes au milieu 
proposé et à celui qui n’en diffère que par les signes de d, e, f. Donc 
notre construction était tenue de fournir à la fois les directions des 
vibrations pour ces deux milieux ( * 1 ) ; et elle resterait incomplète, si 
nous ne trouvions pas quelque moyen de discerner le diamètre con 
venant à chaque milieu pour la direction de ses vibrations. A cet 
effet, nous considérerons ce que nous pouvons appeler Vaxe d’asymé 
trie du milieu. 
(') On remarquera l’analogie de ces milieux avec ceux qui seraient inverses 
1 un de l’autre, ou à ellipsoïdes communs, dans la théorie de la conductibilité 
( t. I, p. 147).