POUR LES ONDES DE TOUTE ORIENTATION. 
ZÍ27 
deux carrés pouvant s’annuler séparément, et dont l’un, proportionnel 
à 1 — cos 2 a — cos 2 y, c’est-à-dire à cos 2 (3, est susceptible de se réduire 
avec le terme en v 2 . Cette décomposition s’efTectue par l’identité 
1 — cos 2 U'— cos 2 U"-4- cos 2 U' cos 2 U" 
= ( cos 2 6 — cos U' cos U") 2 -1- sin 2 2 0 (1-— cos 2 a — cos 2 y) : 
on la vérifie en développant, effectuant d’abord les réductions évi 
dentes, puis recourant, pour les réductions plus cachées, aux deux 
dernières formules ( 1 89). Or, si, consideran t le trièdre qui a pour faces 
respectives l’angle 2O des deux normales aux sections circulaires et 
les deux angles U', U" de ces normales avec la normale aux ondes, on 
appelle <3? le dièdre des deux dernières faces U' et U", la formule fonda 
mentale de la trigonométrie sphérique donnera 
cos 2Ô = cos U' cos U"-+- sin U' sin U" cos <î> ; 
ce qui change l’identité (193) en celle-ci: 
(194 ) sin 2 U' sin 2 U" = sin 2 U' sin 2 U" cos 2< b -h sin 2 20 cos 2 ¡3. 
Et l’expression (192) devient enfin 
R 2 = (a- — c 2 ) 2 sin 2 U' sin 2 U" cos 2 ^ 
-H [(a 2 — c 2 ) 2 sin 2 20 — v 2 a 2 c 2 (a- -+- c 2 ) 2 ] cos 2 ^. 
Le premier carré figurant au second membre s’annule, sans que le 
dernier terme en fasse autant, quand 3> est droit; ce qui arrive une 
fois dans chaque demi-rotation de la normale à l’onde autour de la 
normale à une secLion circulaire, d’un même côté du plan des zx, 
du moins lorsque l’angle U ou IL, constant dans ce mouvement, est 
inférieur à 2O; car <b y varie visiblement entre les deux limites zéro 
et Te. Comme alors le dernier terme, en cos 2 [3, seul subsistant, ne doit 
pas être négatif, une condition nécessaire de réalité sera 
O96) 
VflC< 
a 2 —c 2 . 
sin 2 (J 
a 2 c 2 
Cette condition suffira d’ailleurs pour que R et w soient réels; car, 
dès qu’elle est vérifiée, l’expression (195) de R 2 , somme de deux car 
rés, ne peut plus devenir négative. 
Lorsque vac atteint sa grandeur maxima ^ sin26, l’expres 
sion de R est, quant à la valeur absolue, 
(a 2 —c 2 ) sin U'sin U" cos «b, ou (a 2 —c 2 )(cos20 — cosU'cosU");