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on à ce symé- 
■aires à celles, 
sitive x' prise 
tanés de x en 
tout à la fois, 
àz uo pour les 
t = F(#). La 
t quand on y 
11 dit, elle est 
e calorifique 
continue (sauf 
t traversée du 
CALCUL DE LA FONCTION AUXILIAIRE. 7 
Or, si l’on effectue, dans son second membre, l’intégration en a, 
il devient visible que, pour les grandes valeurs absolues de x, 
¿¿se réduit bien à F(zhoo), ou à ±: u 0 , de sorte que toutes les con 
ditions du problème se trouvent satisfaites. En elïet, l’on a (') 
CO f~ (.*■—|) 2 
(7 bis) f e-(« s oa s cosffr — ç)a]da =—e ’ taH ; 
J 0 2 a v t 
et l’expression (7) de u revient à la suivante, obtenue en premier 
lieu par Laplace, 
e -w 2 F 
f/cO, 
(■*■- li 
(8) 
= —i—/* e F = 
‘ïasJ'KtJ—'t, v/tc «/_ 
1 é fi xi i en tous 
’s, x variant 
ix deux con- 
de x, la for- 
d’état initial 
is changer de 
es de l’équa- 
cteur e~" aa2z . 
a indéfinie et 
même signe de 
simple change- 
îditions du pro- 
ait alors symé- 
du , 
—j- s annulerait 
dx 
où le troisième membre se déduit du second en adoptant la nou 
velle variable d’intégration 10= ^—y - Les seuls éléments influents 
2 ayt 
de l’intégrale en m sont évidemment ceux où l’exponentielle e~ tü ' 
est sensible et où, par conséquent, la variable to ne se trouve pas 
très éloignée de zéro. Or, dans ces conditions, si x est très grand 
en valeur absolue, F\x 4- 2atoy/ij se confond avec F(zboo) ou 
avec dz u 0 ; et il vient bien u = ± u 0 , vu la valeur connue, y/~, de 
l’intégrale J' e 
La formule (7) de u convenant ainsi pour ce, sous la condition 
F(—x) = — F(ec), développons-y le facteur F(£) cosiax — a£) 
par la formule du cosinus d’une différence; et séparons, dans le 
produit, la partie en F(£) cosaq, impaire par rapport à ou 
qui aura sa valeur moyenne nulle et disparaîtra, de la parti e, paire, 
en F(£) sinai, qui aura même valeur moyenne pour ç négatif que 
pour £ positif. Il suffira donc, en doublant le résultat, d’intégrer 
la partie subsistante entre les limites £ = o, £ — 00, qui sont celles 
où la fonction F(£) est donnée directement dans notre mur; et la 
substitution finale, à F, de son expression (5), donnera, comme 
formule de cp utilisable pour le problème posé, si nous désignons 
pour la Méca- 
formule (48)]. 
(*) Même Cours d’Analyse infinitésimale [Calcul intégral, Compléments. 
p. 53a*, formule (i3i)].