POUR LES TEMPÉRATURES SUCCESSIVES DE SA SURFACE.
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voit que la formule, sous forme finie, des températures succes
sives u du mur sera
Des différentiations immédiates permettent de constater que
cette expression de u satisfait bien : i° à l’équation indéfinie
du „ d^u „ , , i. . du , , v
—jj = a* ; 2° a la condition — nu (pour x = o), exprimant
le rayonnement à la surface. Et l’on reconnaît, d’ailleurs, direc
tement qu’elle vérifie, 3° la relation d’état initial, u — u^ (pour
t — o), 4° enfin, la condition u = u 0 aux grandes profondeurs x,
où la fonction ^(to) est réductible à son expression asympto-
e—w 2
tique donnée ci-après. Retenons seulement, de ces différen-
tiations et vérifications, la formule de la dérivée première de u
en x :
167. Formule asymptotique des températures de la surface. —
Appelons u' les températures successives du mur à la surface
x = o. Leur expression, obtenue en premier lieu par Fourier ( 2 )
au moyen de l’équation différentielle à laquelle se réduit alors (20),
sera, d’après (29),
(3i) u' — °ù tù = ahsjt.
V/tt
Elle est proportionnelle à la température initiale u, 0 et à une
fonction assez simple de la variable (¡0 = ali\Jt.
Quand la variable ta devient un peu grande, cette fonction tend
rapidement vers une forme asymptotique extrêmement réduite.
( 1 ) Voir, par exemple, dans mes Leçons d’Analyse infinitésimale pour la
Mécanique et la Physique ( Calcul intégral, Compléments, p. 156* à i58* ), les
méthodes pour calculer cette fonction 1]/ (w).
( 2 ) Œuvres de Fourier, t. II, p. 277, formule (5).
B. — II.
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