5j8 sur l’ellipsoïde inverse et les directions des vibrations, 
placements, par rapport au temps, définies à la page 397, ou prises le long de 
chemins parallèles, parcourus avec une vitesse constante donnée. 
Complément a la théorie de l’ellipsoïde inverse (n° 56) principalement 
DANS LE CAS D’ASYMÉTRIE. 
I. Simplifications aux calculs concernant l’ellipsoïde inverse. — Dans un 
exposé sommaire, où l’on ne préciserait pas les différences existant entre la di 
rection exacte (¿', m', n') de la vibration et sa direction dite approchée (/', m\, /ij), 
non plus qu’entre la valeur exacte de w définie par l’équation (169) ( p. 4 r 4 ) et 
sa valeur approchée définie par (172), on pourrait se conten ter de poser la for 
mule que donnent les trois équations (166), multipliées respectivement par l\ 
m\ n! et ajoutées. Cette formule, d’où se trouvent éliminés les coefficients d’asy 
métrie d, e, f, est 
U l' 1 + V m' 2 -r- W n' 2 = — {11' -h mm' -+- ntl' ) 2 . 
Or, vu la quasi-transversalité des vibrations, ou, ce qui revient au même, la 
petitesse du trinôme 11'+ mm'-y nn', corrélative dans les équations (166) à celle 
de U, V, W, d, e, f, le second membre obtenu est du deuxième ordre; et une 
altération négligeable (de cet ordre), imposée à to dans U, V, W, suffira pour 
faire annuler le premier membre. On aura donc, sans erreur sensible, 
Ur+Vm’ ! + Wn' ! = 0, 
c’est-à-dire 
l' 2 ^ m' 2 ^ n' 2 1 
a 2 b 2 1 c 2 ~ w 2 
Or une transformation comme celle qui nous a conduits (p. 4 2 °) à l’ellipsoïde 
direct de Fresnel, permet de substituer au premier membre le quotient de 
(¿' 2 + m"~-\- n' 2 ) 2 par a 2 l' 2 -y b 2 m' 2 -\- c 2 n’ 2 , c’est-à-dire l’inverse de ce dernier 
trinôme. Et il vient, à très peu près, 
a 2 1' 2 + b 2 m' 2 -f- c 2 n’ 2 = w 2 ; 
ce qui est, vu l’approximation demandée, l’équivalent de (179). 
Pour démontrer la seconde propriété de l’ellipsoïde inverse dans un milieu 
symétrique (p. 4 I 8), celle qu’il a de faire connaître la direction approchée 
m\, n\ ) de la vibration par les axes de son ellipse diamétrale parallèle aux 
ondes, il suffit d’observer que la normale à l’ellipsoïde, menée au point où aboutit 
le diamètre de direction (l\, m\, n\ ), a ses cosinus directeurs proportionnels 
à a 2 1[, b 2 m[, c 2 n' u c’est-à-dire, justement, aux cosinus directeurs exacts l’, m', 
n' de la vibration. Celle-ci y est donc normale à l’ellipsoïde et, par suite, à son 
ellipse, considérée, d’intersection par le plan d’onde diamétral, ellipse qui coupe 
ainsi à angle droit le plan projetant la vibration sur l’onde. Donc le diamètre 
de direction (¿j, m[, n[ ), que l’on sait représenter la projection même de la 
vibration, se trouve normal à l’ellipse, ce qui exige bien qu’il en soit un des 
deux axes. 
II. Obliquité, sur le plan d’onde, du plan des deux directions exacte et 
approchée de la vibration, dans le cas d’asymétrie. — Quand les coefficients 
d, e, f d’asymétrie sont nuis, la direction approchée (¿j, m\, n[) de la vibration