Ô96 CONSERVATION DES FORCES VIVES LE LONG DES RAYONS,
d’amplitude I et, par suite, la vitesse vibratoire, inverses de la distance r au
centre, de manière à assurer la conservation de la force vive de chaque onde à
l’intérieur de tout cône infiniment aigu de rayons. Il y a donc lieu de chercher
si le second terme ne serait pas nul, ou, ce qui revient au même (vu que ce
second terme est la somme de deux quantités imaginaires conjuguées), si l’une
des deux expressions variables figurant en numérateur, par exemple,
(«')
dv'\ /dv' dV\ , ( d\' dp'\
dy J " + ~ ' X \ dx dz ) + V \ dy dx ) ’
n’aurait pas sa partie réelle identiquement nulle.
Pour le reconnaître, et faute d’avoir découvert une méthode plus élégante,
formons les expressions, peu symétriques, de p, v, V, p', v'. En considérant,
par exemple, les deux premières équations (y) (p. 474); fi 11 * donnent pour
p, v les déterminants partiels
XŸi— fc +?i— ?Xi —X?n
nous aurons, vu les valeurs (a') (p. 5gi) de cp, y, tjq cp,, y t , abstraction faite par
tout du facteur —4 g 2 k 2 et si l’on observe que ¿ 2 + m 2 + a- — 1 est, en vertu
2 gk
de (c), la quantité constante rtr ° -,
(e")
j. v/— 1
p — mn ±
O)
l,
d’où
y = In ±
Oj
v = n z
Il vient d’abord
(/)
f à. mn
[ur
y/— i àl ô.n-\
w ôz dy J
Or, observons que l, m, n sont, au facteur constant près *Jl 2 y- m 1 -f- n 2 , les trois
cosinus directeurs —>—>-> c’est-à-dire les trois dérivées partielles —— ,
r r r ô{x,y,z)
et même qu’elles seraient plus généralement, ou pour tout système d’ondes
émanées de l’origine, même dans un milieu hétérotrope, les dérivées partielles
en x, y, z du temps £ 0 employé par les ondes à se propager le long du rayon r.
Ainsi, l, m, n vérifient toujours, comme on a eu, du reste, déjà plusieurs fois
occasion de le remarquer, les conditions d’intégrabilité
dm dn dn __ dl dl _ dm
dz — dy’ dx dz ’ dy dx
Grâce à la première de celles-ci, l’expression (/) devient simplement
lu
_ V
dn
dz
dn _ \J— i dl \ '
dy h oj dz
et sa partie réelle est
(g)
In
dn\ m dl
H dy ) or dz
