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DISSIPATION, EN TOUS SENS, DE LA CHALEUR,
Alors, vu les valeurs (s), (s") de Y, Z et X, le second membre
de (s w ), ainsi réduit à son élément provenant du filet considéré,
sera
(O
u = -—-—
4 cC 1 7t t
cos OLX-v- h sin a a?) (a cos -4- h sina£)
G a 2 -+- h 2
d% d\.
Telle est donc la solution simple naturelle du problème posé(').
e ita ' t
Elle diffère de (ití) (p. 11) par la présence du facteur -—-—> éva-
4 a 2 izt
nouissant soit quand la distance r grandit, soit quand le temps
(positif) t décroît vers zéro ou, encore, devient infini. La concen
tration de la chaleur le long de l’axe z = 'Ç) parallèle aux x
ne dure donc qu’un instant imperceptible. Une fois cet instant
passé, la température u s’obtient, aux différentes distances /• de
l’axe et dans les diverses couches x — const, du mur parallèles à sa
face x — o, en raisonnant comme si la quantité de chaleur initia
lement concentrée sur J’axe dans chaque couche s’y était trouvée
disséminée uniformément sur l’unité d’aire, etindéfîniment répétée
sur toutes les unités d’aire de la même couche, mais en multipliant
finalement la température ainsi calculée, parle facteur
g 4 aU
4<Z 2 TC¿
C’est
donc ce facteur qui représente l’effet de la dissipation dans les
sens parallèles aux couches.
176. Résultats divers. — Quand, dans la formule (§ w ), l’expres
sion jf(£, 7), Ç) des températures initiales a la forme x(£)4'( 7 b Ç)j
l’expression (S w ) de u est le produit d’une intégrale double, en a
et £, par une autre, en rj et Ç, ou en co et of : le résultat se sim
plifie donc. C’est ce qui arrive, notamment, lorsque réchauffe
ment initial a été uniforme, mais limité à un prisme ou cylindre
de forme quelconque ayant ses génératrices parallèles aux x et
comprises entre deux abscisses données ¿u = const., cas où l’on
( 1 ) Foi>, dans la XLIX e Leçon de mon Cours d’Analyse infinitésimale pour
la Mécanique et la Physique ( t. II, fascicule II, p. 520*), la notion de solution
simple naturelle pour les problèmes de Physique mathématique concernant les
corps de dimensions infinies.
