multipliées respectivement par u' et par
puis ajoutées, donnent la relation
du
dx \ dx
du' N
dx
du'\
sp)
du
dz
du"
"di .
Or celle-ci, multipliée par dxz et intégrée dans l’étendue et, a chacun de ses
trois ternies immédiatement intégrable une fois et convertible, par une méthode
qui nous est familière ( t. I, p. 168 ), en une intégrale de surface, prise sur toute
la limite a du champ et. Si cos (a, ¡3, y) sont les trois cosinus directeurs des nor
males respectives dn, il vient ainsi
, du
dx
du!
dx
Or les deux expressions
d ( u, u' )
‘ dx °
, du
du'\
“ dy
U ~dy)
' , du
du'\
U dz
“ dz )
d(u t ,
dz
COS p
■ COS y
48 ÉCHAUFFEMENT PERMANENT, PAR CONTACT,
fonction inconnue cherchée, bien continue dans tout le corps, et
n! la fonction particulière ~> continue également dans le même
espace, à l’exception de l’intérieur d’une sphère a- 7 = dé
crite, d’un rayon infiniment petit e, autour de l’origine com
mune (X, Y, Z) des distances r, on considérerait ces fonctions u.
u 1 dans l’espace m où elles sont bien continues toutes les deux,
savoir, l’espace compris entre la surface <7 et la petite sphère cr\
sur laquelle aboutiraient des normales du 1 dirigées en sens con
traire des rayons r = e correspondants.
186. Solution du problème pour un corps quelconque, dans
l’hypothèse où l’on aurait certaines données surabondantes, rela
tives à sa surface. — Les deux fonctions u, u 1 ayant leurs para
mètres Ao nuis, on peut leur appliquer une formule bien connue,
due à Green ('). On aura alors, si l’on distingue les deux par-
( ’) Formule de Green. — Cette formule célèbre, applicable à deux fonctions
quelconques u, u’ vérifiant les équations A,a = o, A 2 u’= o, est
du du"'
dn dn
dz
où z désigne la surface complète limitant tout espace et dans lequel ces fonc
tions u, u' sont continues, et où dn représente la normale élémentaire aboutis
sant, de l’intérieur de l’espace ci, à l’élément quelconque dz de sa limite.
On l’obtient en observant que les deux équations
A 2 u = o, A 2 u' = o,
