ÉCIIAUFFEMENT PERMANENT, PAR CONTACT, 
point {x, 7, z) aux deux points respectifs (X, Y, Z), (X', Y', Z'), 
r 2 =( . r _X)2 + (7-Y)2+(-_Z)2 
= a? 2 -+-7 2 -+- -s 2 -F- D 2 — i(Xx -i- Yy -h Zz), 
r' 2 = (a7 _ X') 2 + (7 - Y')* + (* - Z') 2 
R 2 
= a? 2 -F-7 2 -F- z 2 -f- D' 2 — 2 (Xa? -t- Yj -F- Zz); 
d’où il résulte, en observant que x- H-7 2 + z 1 est le carré delà 
distance, que j’appellerai R', du point mobile («,7, z) au centre, 
P)2 R2 TV2 R2 D 2 
- D — (a ? «+72 + z 2_R2) = n D .JY(R'2_ R 2). 
Cette expression ne varie, aux divers points ( x, 7, z) de chaque 
petite normale dn, qu’à raison de son facteur R /2 —R 2 , qui, le 
long de dn, croît de 
2R'<iR' = 2 R dn. 
R 2 — D 2 
Sa dérivée suivant dn est donc 2 
Et la formule (60) 
devient, en définitive, 
r „ R 2 —D 2 Cudz R 2 — X 2 — Y 2 — Z 2 p udz 
(6i) u(\ 
où, sous le signe J~, r désigne les distances respectives du point 
intérieur quelconque (X, Y, Z), pour lequel on veut connaître la 
fonction u, aux divers éléments dz de la surface, et a les valeurs 
données de la fonction sur ces éléments du. 
Telle est, pour le cas de réchauffement de la sphère par contact, 
la solution due en premier lieu à Poisson, mais dont la démon 
stration n’a été portée qu’après lui au degré de simplicité 
ci-dessus (*). 
189. Température moyenne des couches sphériques concen 
triques. — Au centre, où D = o et où r = R, la température, que 
(>) Voir, par exemple, à ce sujet, le Cours d'Analyse infinitésimale de 
M. Picard, t. I er , p. i43 à i52.