56 ÉCHAUFFEMENT PERMANENT, PAR RAYONNEMENT, 
AoZ> = o. Or deux différentiations successives de (66) en x donnent 
dy du 
dx dx 
/iR Vdxi 
/¿R V dx* 
dx dy 
d x u 
dx' 1 dy 
d ' 2 u 
dx dz 
d* u 
dx 2 dz 
L’on obtient de même-^j —r-zi et la somme des trois dérivées 
dy 2 dz 2 
secondes directes de cp donne, vu finalement l’équation A 2 u = o, 
\ k k I / d\zu 
(6 7 ) M=A 
+ y 
d \ 2 u d\-iii 
dy 
dz 
2 A 9 M ) = o. 
Ainsi, la fonction auxiliaire cp, ou, plus explicitement, ®(x,y, s), 
satisfait précisément aux équations qui déterminaient u quand 
réchauffement avait lieu par contact; et la formule (6i) lui est 
applicable. En y substituant, d’une part, x, y, z à X, Y, Z, d’autre 
part, sous le signe j', u e ou w e («, b, c) à u et 
O — a) 2 H-O— bf+(z- c)* 
à r 2 , il vient 
(68) 
R2 — x i yi — 
4 tt R 
u c (a, c) dz 
\ [(a? — — by-h(z — c) 2 ] 5 
192. Température au centre de la sphère. — Au centre, où x, 
j, 3 sont nuis, cette formule devient, vu d’ailleurs que cp s’y ré 
duit à u c et que a 2 + b 2 -1- c 2 —R 2 , 
< 6 9) 
dz 
La température u c , au centre de la sphère, est donc, suivant 
une importante remarque de Poisson, la moyenne des tempé 
ratures extérieures permanentes u e ci la surface. On aurait pu 
le déduire de cette circonstance, que, dans l’état permanent sup 
posé, le flux total de chaleur extérieure, Jk(u c —u) dz ou 
kj\u e — u) dz., entrant par unité de temps dans la sphère, est